이윤율 역수는 왜 투입계수행렬의 고유값인가

이윤율의 역수는 왜 투입계수행렬 $A$의 고유값일까? 오늘은 이에 대해 살펴보도록 하자.

후불임금 모형

먼저 아래와 같은 후불임금-유동자본 선형생산모형을 가정하자.

(1) $p=(1+r)pA+wl$

이는 다음과 같이 가격벡터 $p$를 기계적으로 계산하여 얻을 수 있음을 우리는 알고 있다.

(2) $p=w(I-(1+r)A)^{-1}$

여기서 표준체계를 도입해보자. 스라파의 "표준상품체계 알고리즘"은 첫 번째로 모든 부문에서 잉여가 없는 상태(즉 투입량과 산출량이 같은 상태)로 만드는 비율벡터 $q$를 얻는 것이다. 스라파는 해가 무한한 방식으로 풀었으나 이 문제는 곧 후진들에 의해 해결되었다.^[각주:1]

먼저 (1)식에서 임금률 $w=0$이라면 이윤율은 최대이윤율이 될 것이다.

(3) $pq=(1+R)pAq$

$r$은 스칼라인데 여기서 최대이윤율 $R$은 부문의 갯수가 $n$ 개라면 $n$ 개의 최대이윤율의 값들이 존재하는 것이 되어버린다. 따라서 식을 $n$ 개 더 추가할 것인가 아니면 하나의 식을 선택할 것인가? 물론 둘 다 계산 가능하다. 그러나 스라파는 이 값들이 모두 경제적 의미를 갖지 않는다고 보았다. (자세한 건 박만섭(2010)^[각주:2] 참고)

(3)식은 다음과 같은 형태가 될 수 있다.

$q=(1+R)Aq$

앞에서 $\frac{1}{1+R}$을 곱해주면

$\frac{1}{1+R}q=Aq$

따라서 $\frac{1}{1+R}$은 투입계수행렬 $A$의 고유값이며 표준체계를 만들어주는 비율벡터 $q$는 고유벡터임을 바로 알 수 있다. 이것이 최대이윤율의 역수가 고유값인 이유이다.

그러나 고유값이라고 해서 큰 의미를 부여하기 어렵다. 최대이윤율이 $n$ 개가 있고, 스라파는 모든 최대이윤율의 값이 "경제적 의미를 갖는 것이 아니"라고 했기 때문이다.

여기서 페론-프로베니우스 정리가 활용되는데, 이 "정리"에 따르면 페론-프로베니우스 고유값은 다른 고유값들보다 언제나 크다는 사실을 이용하는 것이다. 이윤율의 역수 중 가장 큰 것이 페론-프로베니우스 고유값으로 해석한다는 것이다.

이것보다 작은 이윤율의 모음 중 가장 작은 최소이윤율이 가격을 양(+)으로 만든다고 한다. 여기서는 고유값 문제만 다루기 때문에 구체적인 표준상품의 유일성에 대한 수학적 문제에 대해서는 홍기현(2002)을 ^[각주:3] 참고할 것.

결론적으로 말하자면 결국 후불임금모형은 스라파 경제학에서 표준체계를 통해 표준상품을 증명하려고 고유값, 고유벡터의 형태를 이용한다는 것을 알 수 있다.

선불임금 모형

선불임금 가정에서도 이 문제를 재현하는 것은 가능하다. 선불임금모형은 대체로 마르크스경제학이 주로 사용하기 때문에 특별히 여기서 응용을 해볼까 한다.

먼저 다음과 같은 선불임금 모형을 가정하자.

$p=(1+r)p(A+dl)$

$d$는 임금재의 소비비율을 나타낸다. 여기서 축약을 하자면 $M=A+dl$로 정의하면^[각주:4]

$x=(1+r)Mx$

$x$는 산출량벡터가 된다. 여기서 이윤율의 역수를 구하면

$\frac{1}{1+r}x=Mx$

그러므로 이윤율의 역수는 그냥 고유값이 된다. 마르크스경제학의 경우 표준상품의 존재와 유일성 증명이 필요가 없다. 다른 문제로 마르크스경제학은 "마르크스의 기본정리"를 증명하기 위해 사용한다. (이는 다른 글을 참고할 것)

끝.

[이관 글. 2016-11-05 작성]

1. 박만섭. "스라파의 ‘증명’방식에 관한 일고.". pp155. 사회경제평론 (2010): 137-176. [본문으로]
2. 박만섭. 2010. ibid. pp168. [본문으로]
3. 洪起玄. "스라파 長期均衡價格理論의 成果와 限界." (2002). [본문으로]
4. John E, Roemer. "Analytical Foundations of Marxian Economic Theory". p15~17. University of Califrnia, Davis. 1981. [본문으로]