오키시오 정리의 대우 명제에 대한 간단한 예시

오키시오 정리 소개

오키시오 정리(이하 OT)는 기초재인 임의의 상품을 생산하는 방법 $k$에서만 기술진보가 일어났을 때 실질임금이 일정하다는 조건 하에서 균형이윤율은 증가한다는 정리이다. 자세한 것은 아래의 글을 참고하라.

오키시오 정리에 대한 소개

다른 한편으로 류동민. (2006; p2)^[각주:1] Nakatani, T., & Hagiwara, T. (1997; p41)^[각주:2]에 의해 조명된 바와 같이, OT의 대우명제에 대해서도 또 다른 관심이 집중되고 있다. 즉

The Okishio theorem, however, does not pre- clude the possible validity of the Marxian claim. If the rate of profit falls in the long run, this must be because of a rise in the real wage rate. This is the implication of the Okishio Theorem. ^[각주:3]
그러나 오키시오 정리는 마르크스주의의 주장을 가능한 배제하지 않는다. 장기적으로 이윤율이 하락한다면 이는 실질임금의 상승 때문임에 틀림없다. 이것이 오키시오 정리의 함의이다.

OT는 이 내용을 확실하게 증명한다. 하지만 이 내용을 명시적으로 보일 수 있는 간단한 예시를 그래프로 보이는 것이 어떨까 고민해보았다.

준비작업

그에 대한 조건은 다음과 같다.

• 실질임금의 변동은 신-균형이 되고나서 변동해야한다. 그렇지 않다면 실질임금 일정 가정을 하는 OT에 의해 우리가 원하는 결과를 마주할 수 없게 되기 때문이다.
• 기술진보가 일어나는 생산방법 $k$ 부문은 기초재라고 가정한다. 다시 말해 자본재로도 임금재로도 사용될 수 있다.

두 개의 부문만 존재하는 경제를 상정하면 두 개의 생산가격식으로 표현될 수 있다. (임금은 선불제다)

$p_1x_1=(1+r)(p_1a_{11}+p_2a_{21}+wl_1)x_1$

$p_2x_2=(1+r)(p_1a_{12}+p_2a_{22}+wl_2)x_2$

실질임금은 다음과 같이 정의된다.

$w=p_1b_1+p_2b_2$

이제 OT에서 가정하는 임금재 단위 생산가격을 나타내기 위해 $q_i=p_i/w$로 나타내면 아래와 같다.

(1) $q_1x_1=(1+r)(q_1a_{11}+q_2a_{21}+l_1)x_1$

(2) $q_2x_2=(1+r)(q_1a_{12}+q_2a_{22}+l_2)x_2$

(3) $w=pb=p_1b_1+p_2b_2$

예시를 간단히 하기 위해 산출량 $x_1=x_2=1$ 그리고 실질임금은 $1(=w)$로 가정한다. 그리고 여기서 행렬대수로 나타내기 위해 아래와 같이

$q=\begin{bmatrix}q_1&q_2\end{bmatrix},~A=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\\\end{bmatrix},~l=\begin{bmatrix}l_1&l_2\end{bmatrix},~b=\begin{bmatrix}b_1&b_2\end{bmatrix}^T$

로 나타내고

$M\equiv{A+bl}$

로 표현하면 아래와 같이 간단하게 된다.

$q=(1+r)qM$

$\beta\equiv{1/(1+r)}$를 양변에 대해 곱해주면 아래와 같은 형태가 된다.

$q\beta=qM$

본래 이는 $x>xA$와 같은 양(+)의 산출량벡터를 얻는 방법과 다르지 않다.

여기서 2부문에서 새로운 생산방법이 선택되어 더 경제적인 생산기술 $a_{ij}', l_{i}'$가 도입될 때 신-균형은 어떻게 변화하는가는 고유값과 고유벡터를 통해 그 추이를 확인할 수 있을 것이다.

실질임금의 변동 정의

실질임금의 변동을 정의하기 위해 우리는 본래의 생산가격식으로 다시 돌아간다.

$p=(1+r)p(A+bl)$

여기에 $w$를 나누면

(4) $p_i/w=(1+r)p(\frac{A}{pb}+\frac{b}{pb}l)$

만약 실질임금이 증가했다면 임금바스켓의 증가 때문일 것이다. 즉 임금바스켓의 원소인 계수 $b_i$ 중 적어도 하나 이상이 고정되지 않고 증가했다는 것이다. 특수한 경우($p_1=p_2$)를 제외한다면 식 (4)의 우변에서 $\frac{b}{pb}l$ 항은 증가하게 될 것이다.

대우명제에 대한 증명

이를 엄밀하게 증명한다면 사실상 OT를 페론-프로베니우스 정리로 증명하는 방법을 응용하여 적용할 수 있다. 자세한 내용은 아래의 글은 마르크스의 기본정리와 관련하여 페론-프로베니우스 정리에 대해 쓴 글이므로 참고할 것.

페론-프로베니우스 정리와 FMT

$M$의 원소인 $b_k$에 대해 보다 큰 $b_k'$가 있다고 하자. ($b_k<b_k'$) 여기서 새로운 $b_k'$를 갖는 행렬을 $M'$이라고 한다면 그 관계는 다음과 같다.

$M\leq{M'}$

이제 페론-프로베니우스 정리에 의해 $M$의 고유값인 이윤율의 역수 $\beta$는 $M'$의 고유값 $\beta'$에 대해

$\beta\leq\beta'$

이 되므로 새로운 이윤율은 상승하지 않는다는 것을 알 수 있다.

 [페론 프로베니우스 정리를 이용한 고유값의 관계](Horn&Johnson, 1985; p299)^[각주:4]
양의 행렬 $A_1,~A_2$가 있고 이들의 관계가 $A_1\leq{}A_2$일 때 고유값 $\rho(A_i)$에 대해 다음이 성립한다.
$\rho(A_1)\leq{}\rho(A_2)$

아주 간단한 방법으로 증명해보자. 정방행렬 $A$의 고유값과 고유벡터의 관계는 $\lambda{x}=Ax$이고 둘을 구하기 위해 필요한 특성방정식 $det(\lambda{I}-A)=0$이 만족되어야 한다. 이때 임의의 두 개의 정방행렬이 $A_1\leq{}A_2$와 같은 관계이고 특성방정식의 $\lambda$ 역시 $\lambda_1\leq{}\lambda_2$여야만이 특성방정식 $det(\lambda{I}-A)=0$를 만족할 수 있을 것이다. 때문에 $\lambda_1\leq{}\lambda_2$이다.

실행

이제는 Octave로 코드를 짜고 그래프를 그려보도록 하자. 먼저 2부문에서 기술변화가 일어날 때 신-균형 이윤율과 임금단위 생산가격벡터를 얻는다. 그리고 1부문의 상품을 노동자가 더 많이 가져가게 되는 잠재적인 상황도 함께 계산해서 이를 비교해보는 것이다. 코드는 다음과 같이 사용자정의 함수와 메인코드를 포함한다.

fnPRVector.m

function [q, r] = fnPRVector(A, l, isPrint=false)
  #고유값과 고유벡터 얻은 후 가격벡터와 이윤율을 반환하는 함수
  M = A + l;

  [q, Beta] = eig(M);

  if(isPrint == true)
    disp("q_w = "), disp(q(:,1));
  endif;
  r = Beta(1)^(-1) - 1;

  if(isPrint == true)
    disp("r = "), disp(r);
  endif;


endfunction

main.m

clear all;

l1 = 0.1;l2 = 0.1;
a11 = 0.35;a21 = 0.21;a12 = 0.2;a22 = 0.1;

q1_ = [];
q2_ = [];
r_ = [];
rs_ = [];
for i=1:10
  m2 = 0.01*i;#1% 생산비용 절약 효과

  l = [l1, l1;
       l2-m2, l2-m2];
  A = [(a11) (a12-m2);
       (a21) (a22-m2)];

  [q, r] = fnPRVector(A, l);#생산가격벡터와 이윤율 얻기

  q1_ = [q1_ q(1,1)];
  q2_ = [q2_ q(2,1)];

  r_ = [r_ r];
  
  #1부문의 임금재 계수가 20% 증가했을 경우
  l(1,1) = l(1,1)*1.2;
  l(1,2) = l(1,2)*1.2;
  
  [q, r] = fnPRVector(A, l);
  rs_ = [rs_ r];
endfor;

figure
stem3(q1_, q2_, r_, "bo-");#OT
hold on;
stem3(q1_, q2_, rs_, "ro-");#실질임금 상승한 경우
title ("p1, p2, r Okishio Teorem");
xlabel ("q1");
ylabel ("q2");
zlabel ("r");
legend("r","r*");

결과는 다음과 같다.

OT와 실질임금 증가 시의 비교 그래프

여기서 $r$은 OT의 신-균형 이윤율이며 $r*$는 실질임금이 증가했을 경우의 이윤율이다. 그래프를 보다시피 경제가 OT의 이윤율을 달성할 수 있음에도 불구하고 실질임금의 증가로 인해 그 이하로 설정된다는 점을 알 수 있다. 다시 말해 이윤율이 하락했다면 실질임금이 증가한 것이다.

결론

OT의 대우 명제를 통해 우리가 알 수 있는 것은 기술진보 자체를 이윤율 저하 경향과 관련시키려는 전통적인 논의들과 달리, 실질임금 증가가 이윤율 저하 경향에 직접적인 역할을 한다는 점이다.

기술진보가 계급적인 변수라는 점과 마찬가지로 실질임금 역시 계급적인 변수임을 부정할 수는 없다. 최저임금제도, 물가, 화폐정책, 노사단협, 산업예비군 그리고 기술진보가 실질임금에 큰 영향을 미칠 수 있다. 다시 말해 프로세스를 명확히 하자면 기술진보를 이윤율 저하와 관계를 지으려면 1차적으로 실질임금과 관련이 있는 산업예비군, 화폐의 가치, 노동강도에 영향을 미칠 것이고 이후에, 2차적으로 이런 변수들이 이윤율에 영향을 미친다고 설명하는 편이 바람직하지 않을까?

1. 류동민. (2006). 오키시오정리에 관한 연구. 경영경제연구, 28(2), 1-10. [본문으로]
2. 그리고 Nakatani, T., & Hagiwara, T. (1997). Product innovation and the rate of profit. Kobe University Economic Review, (43), 39-51. [본문으로]
3. Nakatani, T., & Hagiwara, T. (1997; p41) [본문으로]
4. Horn&Johnson, 1985, 「Matrix analysis」, Cambridge university. http://matrix.skku.ac.kr/sglee/perron_frobenius/perron_frobenius.html에서 참고. [본문으로]