뒤메닐의 상호교차 모형

가. 서 론

뒤메닐&레비(1993)^[각주:1]는 "The Economics of the Profit Rate"에서 '상호교차 동학 모형(cross-dual dynamic model)'이라는 것을 내세우고 있는데 꽤 흥미로운 지점이 있어 열심히 공부 중이다. 영알못인 이유로 무척 느리고 고생하고 있긴 하지만... 그래도 대강 정리할 수 있었다. 뒤메닐을 읽으면서 아마도 가장 도움을 준 건 (국문 논문인!) 최임철(2005)^[각주:2]의 논문이다. 일전에 김덕민 선생님이 소개를 해주어 알게 된 논문인데, 이제야 읽어보게 되었다. 아무튼 아직 뒤메닐의 책은 읽고 있는 중이지만 중간에 대강의 정리를 해두고자 한다. 그 전에 이 글이 전개되는 방식에 대해 살펴보자.

본론의 1장은 상호교차 동학에 대한 문제의 정식화와 기본 Method를 안내한다. 2장은 균형의 안정성에 대한 수학적 접근을 다룬다. 그 다음 3장에서는 이에 대한 시뮬레이션을 시행한다.  마지막으로 결론에서는 상호교차 동학에 대한 대강의 정리로 마무리한다.

나. 본 론

1. 상호교차 동학 모형

1-1. 문제의 정식화

고전파 경제학은 아담 스미스부터 마르크스까지 모두 생산가격의 형성 문제를 의심하지 않았다.

간단하게 말하자면 이윤율의 불균등 상황은 자본이동을 유인함으로서 이윤율을 균등화시킨다. 마찬가지로 수요-공급의 불균형 상황은 가격 조정을 유인함으로서 수요-공급을 일치시킨다.

뒤메닐이 애덤 스미스의 경쟁론을 요약한 내용을 인용해보자.

"Supply and demand do not coincide ex ante. The firms change their prices as a function of the size of the disequilibrium on the market."

"수요-공급은 일치하지 않는다. 기업들은 시장 불균형의 크기에 따라 가격을 변화시킨다."

"The combined effects of these migrations and adjustments of prices are supposed to lead progressively to natural prices and effectual demands. This situation can legitimately be called an equilibrium."

"이러한 자본이동과 가격 조정의 결합된 효과는 점진적으로 자연 가격과 실질적인 수요로 이어질 것이다. 이 상황을 균형이라고 부르는 것이 적합할 것이다."

"It is clear from this analysis that Smith views the equilibrium position as the outcome of a decentralized procedure, which occurs within disequilibrium, and in which economic agents react to the observation of disequilibriurn."

"이 분석에서 스미스는 경제적 요인이 균형 상태가 불균형 상태에서 발생하고, 불균형의 관찰에 따라 반응하는 절차의 결과로 본다는 것이 분명하다."^[각주:3]

즉 뒤메닐이 생각하는 고전파 경제학의 중심은 균형을 의심하지 않았으나 그 형태를 불균형에 처한 상황에서의 균형화로 생각했다는 것이다.

여기서 뒤메닐이 포인트를 주는 곳은 "균형"이 아니라 경제주체가 불균형을 관찰할 때 반응하는 "행동" 쪽이다. 불균형을 관찰할 때 경제주체(기업)가 반응하는 행동은 두 가지로 구분되는 데, 하나는 가격 조정, 다른 하나는 수량 조정이다. 이러한 조정행동을 통해 균형이 이루어지며 비율의 안정성 역시 적절히 수행될 수 있다. 비율이 적절히 균형에 맞게 조정될 수 있다는 것 자체를 뒤메닐은 부정하지 않는다. 이는 과소소비설과 불비례설과는 상반되는 주장이 된다. 그들은 (둘 간에 내용은 차이가 있지만) 소비재에 비해 설비재가 과잉생산된다고 보고 비율적 안정성이 깨진다고 주장했다. 그에 비해 뒤메닐은.

"We do not deny the relevance of the issue of efficiency. True, resources may be wasted in capitalist economies, and the tramformation of markets and institutions may lead to a general improvement of welfare. However, the central problem does not lie here."

"우리는 효율성 문제의 적절함을 부정하지 않는다. 사실, 자본주의 경제에서 자원이 낭비될 수 있으며, 시장과 제도의 전조가 일반 복지 향상으로 이어질 수 있다. 그러나 여기에 핵심적인 문제가 있는 게 아니다."^[각주:4]

인용문을 보면 뒤메닐은 균형을 인정한다면 왜 "불균형 미시경제학"을 주창하는가에 대해 의문이 들 수 있다. 이제부터 뒤메닐의 주장이 구체적으로 무엇인지 차근차근 모형을 통해 밝혀보도록 하자.

1-2. 기본 가정과 Method

자본가가 불균형을 관찰할 때의 행동은 다음과 같이 두 가지(가격과 수량)에 대한 행동으로 요약될 수 있다.

"1. From prices to quantities: capital mobility responds to profitability differentials.
2. From quantities to prices: prices are modified in reaction to the differences between supply and demand."

1. 가격으로부터 수량으로 : 자본이동은 수익성 차이에 반응한다.

2. 수량으로부터 가격으로 : 가격은 수요-공급 간의 차이에 반응하여 수정된다.^[각주:5]

우리는 먼저 단순화 가정에 대해 나열하고자 한다. 뒤메닐은 곳곳에서 단순화 가정에 대해 언급하는데 명시적이든 암묵적이든 (매우 길게 느껴질 수 있겠으나) 최대한 숙고하여 나열하도록 한다. 이렇듯 가정들을 나열하는 것이 지루할 수 있겠으나 이것이 중요한 이유는, 앞으로 이 가정을 완화해가면서 얼마나 뒤메닐의 상호교차 동학 모형이 "일반적"인가를 확인하고자 함이기도 하다.

(1) 경제는 폐쇄경제이며 자본재와 소비재를 생산하는 두 부문(기업)만이 존재한다.

(2) 자본가는 한 사람이며 자본재와 소비재를 생산하는 두 기업을 모두 소유하고 있다. (뒤메닐이 언급하진 않았으나 나는 이 가정이 "완전정보"에 해당한다고 본다. 즉 자본가는 기업을 모두 소유함으로서 모든 기업의 이윤율을 투명하게 알고 있는 것이다. 그렇다면 예컨대 자본가 두 명이 각자의 기업을 소유한다고 가정하더라도 자본가들은 서로의 이윤율에 대해 완전한 정보가 공유된다고 바꾸어도 아무런 어색함이 없을 것이다)

(3) 노동력 시장의 수급 문제는 없다. 즉 실질임금은 고정된다.

(4) 규모에 대해 수익은 불변이다.

(5) 두 기업의 기술은 동일하다.

(6) 노동자는 모든 임금을 소비재 구매에 사용한다.

(7) 자본가의 이윤은 소비재 구매에 사용된다. 따라서 자본축적은 없다.

(8) 고정자본은 없으며 유동자본만이 존재한다.

(9) 결합생산은 존재하지 않는다.

(10) 노동은 동질적이다.

위의 가정에 따라 다음과 같은 모델을 생각할 수 있다.

$a_{i}+l_{i}\rightarrow{1(=Y_{i})}~~~~~~i=\left\{1,2\right\}$

$a_{i}$는 $i$ 기업에서 산출물 $Y_{i}$ 한 단위를 생산하기 위해 필요한 자본재의 단위이며, $l_{i}$는 $i$ 기업에서 산출 한 단위를 생산하기 위해 필요한 노동 단위이다. 가정 (5)에 의하여 $a_{1}=a_{2}=a,~~l_{1}=l_{2}=l$이 된다. 두 기업의 이윤율을 얻기 위해서는 임금률이 필요하다. 우리는 명목임금률을 사용하여 $wp_{2}$라고 할 것이다.

이로서 우리는 이윤율을 얻을 수 있다. 최종적으로 산출된 산출량에 단위 가격을 곱한 값에 가격으로 나타낸 명목비용을 제한 것이 이윤몫이 되며, 이를 자본재의 가격으로 나누어주는 것이 이윤율이 된다.

$r_{i}=\frac{Y_{i}p_{i}-Y_{i}(ap_{1}+wp_{2})}{Y_{i}ap_{1}}$

이와 다르게 실제로 판매된 가격($D_{i}p_{i}$)에서 비용을 제하는 이윤의 정의가 있다. 우리는 이를 사용한다.^[각주:6]

(1) $r_{i}=\frac{D_{i}P_{i}-Y_{i}(ap_{1}+wp_{2})}{Y_{i}ap_{1}}$

1-3. 자본가의 행태 규정을 위한 이산시간 모형

우리는 이제까지 기본적인 가정과 메소드에 대해 알아보았다. 이제 이를 가지고 자본가의 행태를 규정하기 위해 변수에 시점 $t$를 추가한 이산적인 시점의 진행 가정을 도입할 것이다.

1-3-1. 수익성 차이에 대한 행태식

먼저 자본가는 수익성  차이에 대해 산출량을 조정하는 것으로 행동한다고 정의된다. 이를 아래와 같은 행태식으로 규정할 수 있다.

(2) $Y_{1}^{(t+1)}=Y_{1}^{(t)}[1+\gamma{(r_{1}^{(t)}-r_{2}^{(t)})}]$

$~~~~Y_{2}^{(t+1)}=Y_{2}^{(t)}[1-\gamma{(r_{1}^{(t)}-r_{2}^{(t)})}]$

(2)식의 두 개의 식에 포함되어 있는 반응계수 $\gamma$는 자본가가 이윤율의 차이를 관찰할 때 이에 대해 "둔감하게 반응하는가" 아니면 "과도하게 반응하는가"를 임의로 결정할 수 있다. 그런데 이 반응계수  앞에 부호가 서로 다르다. 그 이유에 대해 뒤메닐은 다음과 같이 설명한다.

"When $r_{1}>r_{2}$ , a profitability differential exists that favors the capital good and, as a result, its output is increased $(Y_{1}^{(t+1)}>Y_{1}^{(t)})$. Similarly the output of the consumption good is simultaneously diminished. A symmetrical situation prevails when $r_{1} < r_{2}$."

"$r_{1}>r_{2}$일 때, 자본재에 유리한 수익성 차액이 존재하며 결과적으로 그 생산량은 증가한다$(Y_{1}^{(t+1)}>Y_{1}^{(t)})$. [그러나] 소비재의 산출량[은] 감소한다. 마찬가지로 $r_{1} < r_{2}$ 일 때 대칭적인 상황이 [된]다."^[각주:7]

이는 가정 (4) 규모에 대한 수익불변과 모순되지 않는 설명이다. 하지만 그만큼 이 모형이 단순하다는 것을 알려주기도 한다.

1-3-2. 수요-공급 차이에 대한 행태식

다음으로 자본가는 수급의 차이를 관찰한 경우 가격을 조정하는 것으로 대응한다고 볼 수 있다.

(3) $p_{i}^{(t+1)}=p_{i}^{(t)}(1-\beta{\frac{Y_{i}^{(t)}-D_{i}^{(t)}}{Y_{i}^{(t)}}})~~~~i=\left \{1,2\right\}$

수익성 차이에 대한 반응계수 $\beta$ 역시 수급 차이에 대해 "민감한지 아닌지"를 임의로 정할 수 있다.

1-3-3. 반응계수에 대한 임의성 문제

이 모델에서 반응계수의 존재가 모형의 임의성을 도입하는 것으로 보여 매우 의심스러울 수 있다. 나 역시 그랬다. 하지만 나는 이것이 다음의 3장에서 보일 "동태적 안정성" 논의에서 충분히 극복될 수 있다고 본다.

1-3-4. 수요의 정의

마지막으로 수요에 대해 정의할 필요가 있다. 먼저 유동자본에 대한 수요는 다음과 같이 정의된다.

(4) $D_{1}=a(Y_{1}+Y_{2})$

그 다음 소비재에 대한 수요는 다음과 같다. 가정 (7) 자본축적이 없다는 가정 하에 노동자와 자본가는 해당 경제에서 유동자본을 다음 생산을 위해 필요한 부분을 구매한 후 남은 소득을 모두 소비재에 구매하는 데 사용한다.

(5) $D_{2}=\frac{Y_{1}p_{1}+Y_{2}p_{2}-a(Y_{1}+Y_{2})p_{1}}{p_{2}}$

이젠 동학 체계를 규정할 모든 준비가 완료되었다.

2. 동태적 안정성

1장에서 보인 메소드를 축약하기 위하여 산출 간 비율과 가격 간 비율이라는 두 개의 변수를 이용할 수 있다.

먼저

$x^{(t)}=\frac{p_{1}}{p_{2}}$

$y^{(t)}=\frac{Y_{1}}{Y_{2}}$

라면 1장의 메소드는 다음과 같이 축약된다.

$r_{1}^{(t)}=\frac{1}{y^{(t)}}-\frac{w}{ax^{(t)}}$

수식의 유도

$r_{1}^{(t)}=\frac{D_{1}p_{1}-Y_{1}(ap_{1}+wp_{2})}{Y_{1}ap_{1}}=\frac{a(Y_{1}+Y_{2})p_{1}-Y_{1}(ap_{1}+wp_{2})}{Y_{1}ap_{1}}=\frac{aY_{1}p_{1}+aY_{2}p_{1}-Y_{1}ap_{1}-Y_{1}wp_{2}}{Y_{1}ap_{1}}=1+\frac{a}{ay^{(t)}}-1-\frac{w}{ax^{(t)}}=\frac{1}{y^{(t)}}-\frac{w}{ax^{(t)}}$

$r_{2}^{(t)}=\frac{1+y^{(t)}x^{(t)}-w}{ax^{(t)}}-y^{(t)}-2$

수식의 유도 : $r_{2}^{(t)}=\frac{D_{2}p_{2}-Y_{2}(ap_{1}+wp_{2})}{Y_{2}ap_{1}}=\frac{y^{(t)}x^{(t)}}{ax^{(t)}}+\frac{1}{ax^{(t)}}-\frac{ay^{(t)}x^{(t)}}{ax^{(t)}}-\frac{ax^{(t)}}{ax^{(t)}}-\frac{Y_{2}ap_{1}}{Y_{2}ap_{1}}-\frac{w}{ax^{(t)}}=\frac{1+y^{(t)}x^{(t)}-w}{ax^{(t)}}-y^{(t)}-2$

단, 여기서 뒤메닐(Duménil, G., & Lévy, D. (1993). ibid. p89.)의 수식이 틀렸는데, 뒤에 "-2"를 더하는 것을 빼먹은 것 같다. 다만 안정성 검증은 산출량 간 비율, 가격 간 비율에 대해 검증하므로 그리 크리티컬한 문제는 아닌 것 같다.

$\frac{D_{1}^{(t)}}{Y_{1}^{(t)}}=a\frac{1+y^{(t)}}{y^{(t)}}$

수식의 유도

$\frac{D_{1}^{(t)}}{Y_{1}^{(t)}}=\frac{a(Y_{1}+Y_{2})}{Y_{1}}=a+\frac{a}{y^{(t)}}=\frac{ay^{(t)}+a}{y^{(t)}}=a\frac{1+y^{(t)}}{y^{(t)}}$

$\frac{D_{2}^{(t)}}{Y_{2}^{(t)}}=1+x^{(t)}y^{(t)}-a(1+y^{(t)})x^{(t)}$

수식의 유도

$\frac{D_{2}^{(t)}}{Y_{2}^{(t)}}=\frac{\frac{Y_{1}p_{1}+Y_{2}p_{2}-a(Y_{1}+Y_{2})p_{1}}{p_{2}}}{Y_{2}}=\frac{Y_{1}x^{(t)}+Y_{2}-aY_{1}x^{(t)}-aY_{2}x^{(t)}}{Y_{2}}=y^{(t)}x^{(t)}+1-ay^{(t)}x^{(t)}-ax^{(t)}=1+y^{(t)}x^{(t)}-a(1-y^{(t)})x^{(t)}$

이제 우리는 가격 간 비율 변수와 산출량 간 비율 변수 두 개로만 이루어진 체계를 다음과 같이 정식화 할 수 있게 된다.

(6) $x^{(t+1)}=x^{(t)}\frac{1+\beta(a\frac{1+y^{(t)}}{y^{(t)}}-1)}{1+\beta{x^{(t)}}(y^{(t)}-a(1+y^{(t)}))}$

(7) $y^{(t+1)}=y^{(t)}\frac{1+\gamma(\frac{(1+y^{(t)})^{2}}{y^{(t)}}-\frac{1+x^{(t)}y^{(t)}}{ax^{(t)}})}{1-\gamma{(\frac{(1+y^{(t)})^{2}}{y^{(t)}}-\frac{1+x^{(t)}y^{(t)}}{ax^{(t)}})}}$

뒤메닐은 (6)식과 (7)식의 균형값을 아래와 같은 가정으로 균형 해를 쉽게 계산할 수 있다고 한다.

$x^{(t)}=\bar{x}=1,~~y^{(t)}=\bar{y}=\frac{a}{(1-a)}$

이 균형점을 이용하여 야코비행렬을 도입하면 "국소적"이긴 하지만, 비율의 안정성을 증명할 수 있다고 한다.

각 변수 $x^{(t+1)}$과 $y^{(t+1)}$을 $x^{(t)}$와 $y^{(t)}$에 대하여 각각 미분한 $2\times{2}$ 야코비행렬 $M$을 가정하면

$M=\begin{bmatrix}\frac{\partial{x^{(t+1)}}}{\partial{x^{(t)}}}&\frac{\partial{x^{(t+1)}}}{\partial{y^{(t)}}}\\\frac{\partial{y^{(t+1)}}}{\partial{x^{(t)}}}&\frac{\partial{y^{(t+1)}}}{\partial{y^{(t)}}}\end{bmatrix}$

나의 편의를 위하여 뒤메닐이 계산한 데로 그 미분값을 대입하면

$\begin{bmatrix}1&-\frac{\beta}{\bar{y}}\\\frac{2\gamma}{1-a}&1-\frac{2\gamma}{a}\end{bmatrix}$

라고 한다. 참쉽죠?

그런데 야코비행렬이 나온 이유는 바로 균형의 동태적 안정성을 검증해야 하기 때문인 듯 하다.

아주 간단한 비유를 들어보자. 사실 간단한 거 밖에 모른다(수알못) 시간에 따라 변화하는 함수 $y(t)$가 있다고 하자. 이것이 수렴하는가? 발산하는가? 만약 수렴한다면, 이것을 수렴되는 지점(균형점)에서 시간에 대해 미분하면 $y'(t)=0$이 될 것이다. 그렇다면 위의 야코비행렬의 고유벡터는 0이 되는 것 같다. 좀 더 기술적인 내용은 잘 모르겠는데.. 이건 나중에 확인해보는 걸로.

$\begin{bmatrix}x^{(t+1)}-\bar{x}\\y^{(t+1)}-\bar{y}\end{bmatrix}=M\begin{bmatrix}x^{(t)}-\bar{x}\\y^{(t)}-\bar{y}\end{bmatrix}$

기술적인 내용은 일단 차치하더라도 여기에 특별한 경제적 의미는 잘 모르겠다. 국소적이긴 하지만 균형점이 정의가 된다는 것 정도랄까?

오히려 뒤메닐은 고유값에 대해 더 특별한 의미를 부여하는 것 같다. 고유값은 다음과 같은 행렬식에 의해 구할 수 있다. $A=\frac{\beta}{\bar{y}},~~B=\frac{2\gamma}{1-a},~~C=\frac{2\gamma}{a}$라면

$P(\lambda)=det(\lambda{I}-M)=\lambda^2-(2-C)\lambda+1+AB-C$

어쨌든 뒤메닐은 고유값이 $\lambda=1,\lambda=0,\lambda=-1$인 세 개의 경우를 판별한다. 고유값이 1이면 $P(1)=AB=0$. 즉 반응계수들이  $\beta=0,~~\gamma=0$이다. -1이면 $P(-1)=4+AB-2C=0$. 여기서는 반응계수들이 $\beta=2-\frac{2a}{\gamma}$를 취한다. 0이면 두 개의 복소켤레 고유값이 나오는데, $P(0)=1+AB-C=1$ 또는 $\beta=1$이 되고 절대값이 1이다.^[각주:8]

고유값에 대한 내용에 대해 너무 어려워할 필요없다. 나도 어렵거든 이것의 의미는 분명하다. 안정성을 나타내는 고유값에 따라 반응계수들을 적절한 방식으로 정의하고 있다는 점을 잘 생각해보자. 바로 이것이 반응계수의 임의성에 대한 문제를 소거한다고 나는 생각한다.

뒤메닐은 이에 대해 다음과 같이 언급한다.

"stability is ensured when the two reaction coefficients, $\beta$ and $\gamma$, satisfy certain conditions. In particular, equilibrium is stable when they are not excessively large."

"2 개의 반응 계수 $\beta$ 및 $\gamma$가 특정 조건을 만족할 때 안정성이 보장된다. 특히, 평형은 지나치게 크지 않을 때 안정적이다."^[각주:9]

(뒤메닐에 따르면) 적절한 비유를 들 수 있다. 운전자가 불균형을 관찰하였을 때, 그 반응은 너무 둔감하거나 민감하게 반응하면 안 된다. 그 반응정도는 적절한 방식으로 해야 한다.

3. 시뮬레이션

과연 이 모형은 반응계수의 정도가 안정성에 영향을 미치는 지 확인하고 싶어할 것이다. 그러나 수학적으로는 "국소적" 의미에서만 검증된다는 한계가 있으며 좀 더 이것의 의미를 제대로 음미하고 싶기도 했다. 이를 시뮬레이션을 통해 검증을 해보았다.

이 시뮬레이션의 목적은 반응계수에 따라 서로 다른 이윤율이 수렴하는 지 아닌 지를 확인하는 것이다. 먼저 반응계수를 각각 $\beta=0,~~\gamma=0$일 때와, $\beta=0.1,~~\gamma=0.1$, 그리고 $\beta=0.4,~~\gamma=0,4$, $\beta=0.9,~~\gamma=0.9$, $\beta=1.5,~~\gamma=1.5$로 설정하여 확인하였다. 그 결과는 다음과 같다.

3-1. 반응계수 모두를 높이는 과정

[그림1] 반응계수 β=0, γ=0 (이윤율)

 

[그림2] 반응계수 β=0.1, γ=0.1 (이윤율)

 

[그림3] 반응계수 β=0.4, γ=0.4 (이윤율)

0.3까지는 대강 수렴이 되는데, 0.4 부터 미친듯이 발산한다. 잘 보면 소비재 기업은 안정적인데, 자본재 기업만이 미친듯이 진동하며 그 폭이 확대되고 있다.

[그림4] 반응계수 β=1.5, γ=1.5 (이윤율)

아주 조그마한 반응일 경우 수렴하지만 1에 가까워질 수록 각 이윤율은 발산한다. 뒤메닐이 말하는 적절한 반응계수의 정도는 내가 준 파라미터 수준 하에서는 $0<x<0.4$ 수준이다. 다른 경우에는 그 적절함도 변할지도 모르겠지만...

3-2. 반응계수 간에 차이를 둘 때

이제는 행태식에서 수요공급 차이에 대한 반응계수 $\beta$와 수익성의 차이에 대한 반응계수 $\gamma$를 각각 하나는 무디게, 하나는 민감하게 반응하도록 설정하여 이 모델에서는 어떤 반응이 가장 "중한가"를 확인해보자.

[그림5] 반응계수 β=0.9, γ=0.1 : 수급차이에 대한 반응이 더 과도할 때 (이윤율)

수급 차이에 대한 반응이 이윤율 차이에 대한 반응보다 더 과도하다고 가정해도 이윤율의 수렴에는 아무런 문제가 없었다. 산출과 가격에 대한 비율 변수의 안정성 역시 수렴하는 데 아무 방해도 되지 않는다.

[그림6] 반응계수 β=0.7, γ=0.1 : 수급차이에 대한 반응이 더 과도할 때 (산출 및 가격 비율)

그러나 수익성 차이에 대한 반응계수를 더 과도하게 설정하는 다른 경우에는 비율적 안정성과 이윤율 안정성 모두 부정적으로 나타났다.

[그림7] 반응계수 β=0.1, γ=0.8 : 수급차이에 대한 반응이 더 과도할 때 (이윤율)

 

[그림8] 반응계수 β=0.1, γ=0.7 : 수익성 차이에 대한 반응이 더 과도할 때 (산출 및 가격 비율)

3-3. 시뮬레이션에 대한 해석

시뮬레이션의 결과를 정리하자면 다음과 같다.

• 이 모형의 안정성은 수급차이에 대한 반응이 덜 영향을 끼친다. 바꿔말하면 자본 간 수익성 차이에는 더 민감하다는 소리이다. 단, 0 이하 또는 1 이상부터는 어떤 반응계수던지 간에 안정성이 불안정해진다는 걸 확인했다.
• 이 모형의 안정성이 불안정해질 때의 "증상"이 특이하다. 즉 자본재 기업만이 영향을 받아 미친듯이(?) 흔들리고 있으나 소비재 기업은 안정적이라는 걸 확인할 수 있다. 이것은 모델의 단숨함 때문인지 아닌지 확인할 수 없지만 이게 매우 납득하기 어려운 증상이라는 것을 염두할 필요가 있으며 앞으로 가정을 완화해가면서 다시 확인할 사항이 될 것이다.

3-4. 소스

뒤메닐의 시뮬레이션을 코딩하는 것은 매우 단순하기도 하고 누구나 재현하기 어려운 부분이 아닐 것 같다. 그래서 뒤메닐 모형에 관심있는 분들이 이런 거에 불필요한 시간 낭비 마시라고 첨부해둔다. 이를 통해 뭔가 도움이 되고 작업한 게 있으시다면 저에게도 좋은 정보를 공유해주세요. 아참. 작업한 것은 Octave로 하였고 그리 어려운 코딩이 없으니.. 아마도 매틀랩에서 바로 돌아갈 것이라고 생각든다.

clear all;

v_beta = 0.2; v_gamma = 0.2;

p1 = 5;p2 = 4;y1 = 3;y2 = 4;
a = 0.3; w = 0.2;

d1 = a*(y1+y2); d2 = (y1*p1+y2*p2-d1*p1)/p2;
r1 = (d1*p1 - y1*(a*p1+w*p2)) / (y1*a*p1); r2 = (d2*p2 - y2*(a*p1+w*p2)) / (y2*a*p1);

x = p1/p2; y = y1/y2;
r_1 = (1/y) - (w/(a*x)); r_2 = ((1+x*y-w)/(a*x))-y;

v_x = [x]; v_y = [y];

v_time = 2;
for i=1:v_time
    emp_x = x * ((1+v_beta*(a*((1+y)/y)-1))/(1+v_beta*(y-a*(1+y))));
    emp_y = y * ((1+v_gamma*((1+y)^2/y - (1+x*y)/(a*x))) / (1+v_gamma*((1+y)^2/y - (1+x*y)/(a*x))));

    v_x = [v_x emp_x]; v_y = [v_y emp_y];
    x = emp_x; y = emp_y;
endfor;

4. 결론(을 대신하여)

아직 뒤메닐의 동학을 공부하고 있는 입장에서 먼저 아주 단순한 모형을 시뮬레이션까지 해본다! 하는 목표를 갖고 글을 쓰며 정리하였고, 나에게도 꽤 정리가 되었던 유익한 시간이었다. 여태까지 투입-산출 모형에만 매달리다가 동학 분석 쪽을 보다보니 무척 흥미롭고 재밌는 내용들이 많은 것 같다. 아직은 많은 발전이 이루어지지 못한 것 같지만, 후진들이 뭐 잘 하겠지. 그럼 나는 낼름 받아먹기만 하면 되니까네. 여기서 어떤 결론을 내고 싶지는 않다. 아직 공부하는 초기이기도 하고.. 다만 개인적으로는 "노동가치론"과 관련된 컨텍스트를 찾기가 어려운 점이 아쉬운 부분이기도 하다. 좀 더 가정이 완화되고 일반화된 모형을 다룰 수 있게 된다면 그제야 "불균형 미시경제학"에 대한 대강의 정리를 나 스스로도, 이 블로그를 찾으시는 뒤메닐 관심덕후(?)들에게도 소개할 수 있을 날이 올 것이다. 아직 감만 있어서 뭐라 설명하긴 어려운 단계이다. 공부 열심히 해보겠습니다.

[이관 글. 2016-12-07 작성]

1. Duménil, G., & Lévy, D. (1993). The economics of the profit rate. Books. [본문으로]
2. 최임철. "고전학파 및 맑스 경쟁이론의 동학적 정식화 시도에 대한 일 고찰. 고려대학교 경제학과 석사학위논문. [본문으로]
3. Duménil, G., & Lévy, D. (1993). op. cit. p70. [본문으로]
4. Duménil, G., & Lévy, D. (1993). ibid. p181. [본문으로]
5. Duménil, G., & Lévy, D. (1993). ibid. p84. [본문으로]
6. Duménil, G., & Lévy, D. (1993). ibid. p86. [본문으로]
7. Duménil, G., & Lévy, D. (1993). ibid. p86~87. [본문으로]
8. Duménil, G., & Lévy, D. (1993). ibid. p102. [본문으로]
9. Duménil, G., & Lévy, D. (1993). ibid. p91. [본문으로]