뒤메닐이 언급한 왈라스의 실수에 대한 노트

뒤메닐(1993)^[각주:1]에 따르면 일반균형을 증명한 왈라스는 다음과 같은 실수를 하였다고 한다.

Walas' mistake is that the price of capital goods is determined twice:

왈라스의 실수는 자본재의가격이 두 번 결정된다는 것이다:

1. By the equalization between supply and demend on the markets for productive factours (and this determines prices $p^{i}$). 생산요소 시장에서의 공급과 수요의 균형에 의하여 (그리고 이것은  (생산용역의 가격) $p^{i}$가 결정된다)
2. By production costs in the "production price" equation 4.6 (and this determines prices $P^{i}$). 4.6 식 "생산가격"에서 생산비용에 의하여 (그리고 이것은 (재화의 가격) $P^{i}$가 결정된다)^[각주:2]

왈라스에 대해 모르는 부분이 많은데.. 뒤메닐의 이 언급이 무척 재밌는 부분이라 그의 소개를 간단히 노트를 하여 여기에 공유한다.

두 개의 가격

먼저 왈라스는 다음과 같이 시작한다고 한다.^[각주:3]

어떤 생산된 재화의 수가 $n$ 개가 있다고 하자. 이 중 임의의 재화 $i$의 가격은 $P_{i}$라고 하자.

다음으로 임의의 재화 중 $i$를 생산하는 생산요소의 가격은 $p_{i}$라고 하자.

이제 우리는 생산요소의 가격을 다음과 같이 정의할 수 있다.

(1) $p_{i}=(c_{i}+g)P_{i}=c_{i}P_{i}+rP_{i}$,          $i=1,2,...,n$

$g$는 일정한 수익률이며 $c_{i}P_{i}$는 고정자본의 감가상각에 대한 보전비용( 또는 리스크 프리미엄)이다. ($c_{i}$는 주어진 것으로 가정한다.) 즉 생산요소의 가격이란 재화의 가격에서 일정비율에 한해 얻을 수 있는 수익금액과 마모된 고정자본의 보전금액 및 리스크 프리미엄으로 결정된다는 것이다.

왈라스는 수요 공급이 일치하는 균형에서 이윤이 없다고 보았다. (즉 왈라스는 이자소득과 이윤소득을 구분하고 있다는 것인데 신고전파의 전통은 이윤과 이자가 동일한 준지대라는 개념으로 본다는 점에서 꽤 흥미로운 점이었다.) 그렇다면 생산요소의 가격과 재화의 가격이 동등하다고 볼 수 있다. 이로서 재화의 가격 $P_{i}$는 다음과 같이 정의된다.

(2) $P_{i}=\sum^{n}_{j=1}a_{ij}p_{j}$,          $i=1,2,...,n$

여기서 투입계수 행렬 $a_{ij}$는 유동자본으로 $i$의 재화 한 단위를 생산하기 위해 필요한 생산요소 $j$의 양이다.

노동의 추가

이제 우리는 동질한 노동 $l$을 추가해보기로 하자. 그렇다면 다음과 같이 된다.

(2)' $P_{i}=\sum^{n}_{j=1}a_{ij}p_{j}+wl_{i}$

우변의 두 번째 항 $wl_{i}$는 임금이 된다. ($wl_{i}$도 역시 주어진 것으로 가정하고 있다)

고정자본의 추가

위의 (2), (2)' 식의 경우는 유동자본모형이라 할 수 있다. 모든 투입된 자본재는 연말이 되면 모두 소비된다. 이제 생산요소에 고정자본을 추가하게 된다면 우리는 (1)식을 고려해 (3)식을 다음과 같이 고칠 수 있게 된다.

(2)'' $P_{i}=\sum^{n}_{j=1}a_{ij}(c_{j}+g)P_{j}+wl_{i}$

$=g\sum^{n}_{j=1}a_{ij}P_{j}+\sum^{n}_{j=1}a_{ij}c_{j}P_{j}+wl_{i}$

이로써 우리는 (2)식을 유동자본과 고정자본을 갖는 식을 완성했다. (2)''식의 우변에서 첫 번째 항은 수익금, 두 번재 항은 고정자본 소모분의 충당금 등, 그리고 마지막 항은 임금이 된다.

이제 남은 미지수는 수익률 $g$인데 이는 다음과 같다.

(3) $\forall{i},~~g=\frac{P_{i}-wL_{i}-\sum^{n}_{j=1}a_{ij}c_{j}P_{j}}{\sum^{n}_{j=1}a_{ij}P_{j}}$

수익률 $g$는 모든 $i$에서 일정하다고 가정되므로 하나의 식이 필요할 뿐이다.

연립방정식의 평가

마지막으로 이 연립방정식들을 나열하여 모든 $i(i=1,2,...,n)$에 대해 나열한다면

(1) $p_{1}=(c_{1}+g)P_{1}$

$~~~~p_{2}=(c_{2}+g)P_{2}$

$~~~~\vdots$

$~~~~p_{n}=(c_{n}+g)P_{n}$

(2)'' $P_{1}=g\sum^{n}_{j=1}a_{1j}P_{j}+\sum^{n}_{j=1}a_{1j}c_{j}P_{j}+wl_{1}$

$~~~~~~P_{2}=g\sum^{n}_{j=1}a_{2j}P_{j}+\sum^{n}_{j=1}a_{2j}c_{j}P_{j}+wl_{2}$

$~~~~~~\vdots$

$~~~~~~P_{n}=g\sum^{n}_{j=1}a_{nj}P_{j}+\sum^{n}_{j=1}a_{nj}c_{j}P_{j}+wl_{n}$

(3) $\forall{i},~~g=\frac{P_{i}-wL_{i}-\sum^{n}_{j=1}a_{ij}c_{j}P_{j}}{\sum^{n}_{j=1}a_{ij}P_{j}}$

이렇듯 연립방정식에서 미지수의 수는 생산요소의 가격 $p_{i}$ $n$ 개와 재화의 가격 $P_{i}$ $n$ 개, 그리고 수익률 $g$ 한 개이므로 총 $2n+1$ 개의 식이 필요하다. 그런데 위에서처럼 식이 모두 준비되어 있으므로 이로써 해를 얻을 수 있는 것이다. 그러므로 일반균형은 성립한다.

....라고 왈라스는 생각했다.

허나 왈라스는 다음과 같은 실수를 하였다고 한다.

(1) 체계는 생산요소의 가격을 결정하는 식이다. 그런데 (2) 체계에서 역시 생산요소의 가격을 결정하는 식이 나온다. 즉 자본재의 가격을 결정하는 식이 두 개가 존재한다.

$p_{i}=(r+c)P_{i}$

$P_{i}=\sum^{n}_{j=1}a_{ij}p_{j}$

이런 경우 해를 계산하려면 절대치는 알 수 없더라도 그 상대적인 비율 $p_{i}:P_{i}$ 정도는 정의할 수 있다.. 그런데 뭘 기준으로 '상대성'을 특정할 수 있을까? 이럴 경우 경제학자들은 예로부터 트릭(꼼수)을 써왔다. 즉 뉴메레르다. 어떤 기준이 될 단위를 임의적인 상수로 정의하는 식 하나를 추가하여 해결하는 거다. 예컨대 어떤 특정 재화 $p_{3}=1$이라면 모든 상대적인 비율을 특정할 수 있을 것이다. 그러나 어쨌든 상대적인 비율일 뿐이다. 이런 귀찮은 일의 본질적인 문제는 생산요소의 가격이 이중으로 정의되어 있기 때문인 것이다.

뒤메닐은 이 문제에 왜 관심을 두었는가

그러나 뒤메닐에 의하면 왈라스는 추후 이 잘못을 시점간 일반균형체계에서 해결하였다고 평가한다.^[각주:4] 그리고 뒤메닐은 이 왈라스의 시점간 일반균형체계를 무한대에서 극한을 풀면 고전파의 공시적인 생산가격과 일치하며 초기부존자원에 영향을 받는 수요함수 또는 효용함수와 독립적으로 결정되는 가격벡터의 성질을 도출한다.

뒤메닐이.. 이런 말을 한 연유는 내 생각엔 다음과 같다.

1. 고전파의 생산가격은 단기 균형가격이라는 비판에 대해 고전파 생산가격은 장기균형가격이라는 증거를 내세우는 것.
2. 뒤메닐은 자신의 증명을 턴파이크 정리에 비유한다. 일종의 최적 성장점을 기술과 분배에 기초한 (그러나 수요함수와는 독립적인) 생산가격이라고 한다면 무한대에서는 수요-공급의 영향은 무시된다는 것. 즉 최적성장점은 무한대로 가면 갈수록 초기부존자원에서 영향을 받는 수요-공급의 영향에서 계속 멀어진다는 것이다. (이 부분에 대해서는 뭔가 좀 껄끄러운 지점이 있다. 좀 더 음미가 필요한 부분인 것 같다)

[이관 글. 2016-10-30 작성]

1. Duménil, Gérard, and Dominique Lévy. "The economics of the profit rate." Books (1993). [본문으로]
2. Duménil, Gérard, and Dominique Lévy. (1993). ibid. p64. Books (1993). [본문으로]
3. Walras, Léon. Éléments d'économie politique pure; ou, Théorie de la richesse sociale. F. Rouge, 1896. [본문으로]
4. Duménil, Gérard, and Dominique Lévy. (1993). ibid. p56. Books (1993). [본문으로]