시점간 체계에 대한 보론 -시뮬레이션

사실 이전에 쓴 [시점간 체계의 발산문제]에서 시점간 체계가 발산한다는 증명은 제가 실수한 부분이 있음을 밝힙니다. 사실 그 실수에 대해 깨우친 건 글을 쓰고 얼마 안 가서였는데요. 하지만 확신이 없었다능. 그것은 행렬의 극한에 대한 해석에 제가 미숙했기 때문... 어쨌든... 틀렸다는 확신이 든 후에 이 글을 씁니다. 증명하는 방법은 아래에 소개하고 있어요.

혹시나 이전의 글을 읽고 잘못된 정보를 믿으셨거나.. 에이.. 틀렸잖아! 하며 지적해주지 않은 분들을 원망하며... 안 그래도 수알못인데... 앞으로 수학을 다룰 일이 있으면 더 조심해야 할 것 같네요..ㅈㅅ

이전의 글은 공개를 한 상태에서 실수 표기를 하고 남겨놓도록 하겠습니다. 저의 치욕을 남겨놓고 그러니까 공부를 해야 한다고 채찍질을 해야죠! 어라. 그러고 보니 아직 못 본 애니가 막 보이기 시작.. (철썩)

수학적 접근

투입계수행렬 $A$는 물량적 비율이다. 결국 레온티에프행렬을 의미한다는 것을 내가 잊었던 거다. 즉 레온티에프행렬은 $0\leq{a_{ij}}<1$을 원소로 갖기 때문에

$\lambda_{(n)}=\lambda_{(0)}A^{n}+l+lA+\cdots+lA^{n}$

시점간 체계를 표현하는 위의 식은 $n$이 무한으로 간다고 하면

$\lim_{n\to\infty}\lambda_{(n)}=\lim_{n\to\infty}\lambda_{(0)}A^{n}+l(I-A)^{-1}=l(I-A)^{-1}$

이 된다. $\lambda_{(0)}A^{n}$에서 $A$는 모든 행 $i$와 열 $j$에서 $0\leq{a_{ij}}<1$인 원소를 갖기 때문에 $\lim_{n\to\infty}A^{n}=0$이므로 우변의 1항은 0이 되고 결국 2항만 남아 $l(I-A)^{-1}$가 되는 것이다. 즉 시점간 체계는 무한으로 가면 $l(I-A)^{-1}$로 수렴한다.

이를 증명해보자.

시점간 체계의 과정이 무한대로 갈 때 $l(I-A)^{-1}$로 수렴한다는 것은 동시적 체계와 일치한다는 것이다. 동시적 체계는 다음과 같이 정의된다.

$\lambda_{t}=\lambda_{t}A+l=l(I-A)^{-1}$

이 동시적 체계를 전개하면

(1) $\lambda_{t}=l(I-A)^{-1}=l+lA+lA^{2}+lA^{3}+...$

다시 시점간 체계는 다음과 같다.

$\lambda_{t}=\lambda_{t-1}A+l$

이 시점간 체계의 차분방정식을 반복법을 이용하여 풀면 다음의 형태를 갖는다는 것을 우리는 이전의 글에서 확인했다.

$\lambda_{(n)}=\lambda_{(0)}A^{n}+l+lA+\cdots+lA^{n}$

이제 $n$이 무한으로 간다고 하면

(2) $\lim_{n\to\infty}\lambda_{(n)}=\lim_{n\to\infty}\lambda_{(0)}A^{n}+l(I-A)^{-1}=l(I-A)^{-1}$

동시적 체계 (1)은 과거로 '무한히 소급된 노동량'이며, 시점간 체계 (2)는 (기술적 조건과 직접노동량이 고정된 한에서) 주어진 어떠한 초기값에서 출발해도 미래로 무한히 과정을 밟을 때, 동시적 체계와 같아진다.

따라서 두 채계는 무한대에서 일치한다.

$\lambda_{t}=\lambda_{t}A+l=l(I-A)^{-1}=l+lA+lA^{2}+lA^{3}+...=\lim_{n\to\infty}\lambda_{(0)}A^{n}+l(I-A)^{-1}$

시뮬레이션 접근

이제 이를 흥미를 돋굴 프로그래밍을 통해 증명해보도록 하자.

우리는 위에서 어떠한 초기값에서도 기술적 조건과 직접노동량이 고정되어 있다면 동시적 체계와 일치한다는 것을 보였다. 따라서 랜덤으로 무한정 초기값을 부여한 후 테스트를 해보면 그만이다.

먼저 우리는 가치가 양이 될 수 있도록 호킨스-사이먼 조건을 충족하는 투입계수행렬 $A$를 만들 수 있어야 한다. 이를 경제학적 언어로 말하자면 "투입계수행렬 A는 생산적이다"라는 것이다. 이는 다음과 같은 코드를 작성하여 호킨슨-사이먼 조건에 맞는, 또는 "생산적인" 투입계수행렬을 반환하는 함수를 만들면 된다. 아래에 코드를 공개한다. 옥타브 코드이며 옥타브 언어는 매트랩과 호환된다고 하니 참고할 것.

function A = getRandA(n, limit_rand, max_rand )
	
    X = randi([limit_rand:max_rand],[1:n])#최소값과 최대값 사이의 랜덤한 정수형 산출량을 얻는다. 
    a = zeros(n,n);#산출량 행렬을 정의
    aA = zeros(n,n);#반환할 투입계수행렬을 정의 
    eps = 1;#생산적 수준의 조정 수 
    for i=1:n 
    	for j=1:n 
        	a(j,i) = (X(j) - (limit_rand - eps)) * (rand / n); 
            aA(j,i) = a(j,i)/X(j); 
        endfor; 
    endfor; 
    A = aA; 
endfunction

첨언하자면..부문마다 몇 퍼센티지 비율의 생산적 수준의 범위를 정해주면 그만한 수준의 생산적 계수행렬을 따로 얻어내는 코드를 생각해보다 관두었다. 내일 출근해야한다...적당히 산출량에서 최소 랜덤값에서 1을 뺘주면 뭐 적당히 호킨스-사이먼 조건이 충족되서 그냥 넘어갔다. 혹시 다른 분들이 나보다 더 좋은 조정계수랄까. 최적화를 생각했다면 나에게 답글로 알려달라.

나머지는 알아서 $L$과 초기값 $p_{0}$를 랜덤하게 받아서 돌려보면 끝. 그렇다면 우리는 기술적 조건과 직접노동량만으로 동시적 체계의 값을 미리 계산해둘 수 있다. 이를 기준점 삼아 과연 일치하는 지 테스트를 해보면 다음과 같은 그림처럼 된다.

[그림] 시점간 체계의 동시적 체계로의 수렴.(차원 수 2 개)

붉은 점선 stV1, stV2가 바로 기준점으로 삼은 동시적 체계이다. 그 외의 v1, v2가 시점간 체계이다. 시점간 체계는 수렴한다. 수렴이 너무 빠르다고 보이지 않는가. 무한대고 뭐고.. 그냥 같잖아? 왜 그러냐면 본래 레온티에프 행렬은 자승을 해보면 광장히 빠르게 0으로 수렴하더라. 계산해보면 암.. 왜 그런지는 모르겠다. 직관적으로 행렬곱은 원소와 원소를 곱하고 더하는데.. 왜이리 빠르지..이상하네 ㅋㅋ 어쨌든 왜 그런지는 아는 분이 있으면 설명 좀 부탁드린다ㅋㅋ

이번엔 차원을 열 개로 해보았으나 결과는 같다. 수렴한다. 수렴한다고. 수렴한다고!

[그림2 시점간 체계의 동시적 체계로의 수렴. (차원 수 10 개)

아참. [그림2]에서 범례는 잘못되었다.. (고치기 귀찮다) 청색 점이 바로 기준점. 즉 동시적 체계의 위치를 표시한 것이다. 모두 10 개의 시점간 체계 변수가 기준점으로 수렴하고 있다. 두 변수의 결과값은 아래와 같이 커맨드에서 출력된 화면을 그대로 Copy&Paste를 해왔다. 똑같주? 됐주?

v
>> v = 72.681 60.065 87.332 38.336 101.568 84.589 41.234 84.982 57.591 78.882
st_v
>> st_v = 72.681 60.065 87.332 38.336 101.568 84.589 41.234 84.982 57.591 78.882

다음 편에서. 계속. (응?)

우리는 여태까지 기술적 조건과 직접노동량이 고정되었을 때를 가정해왔다. 이런 맥락에서 시점간 체계는 위에서 보았듯 이론적 개성이 사라지지만, 실제로 시점간 체계는 기술적 조건과 직접노동량이 시점에 따라 이산적으로 변동하는 체계이다. 따라서 이럴 경우에 대헌 확인이 필요해보인다. 그러므로 성급하게 의미에 대한 결론을 서둘러서 내지않고 잠시 접어두도록 하자.

다음 글에서 나는 기술적 조건과 직접노동량이 변동했을 때 수학적 접근과 시뮬레이션 접근 둘 다를 고민 중이다. 여기서 어떤 결과가 일어나는 지 확인하는 글을 올리도록 하겠다. 여러분도 고민해주시면 뭐 감사합니다!

(끝)

[이관 글. 2016-10-14 작성]