기술변화가 없는 축적모형 : 시뮬레이션

오키시오 정리^[각주:1]가 발표된 이후 많은 이들이 이 정리를 비판하는 시도를 해왔다. 이 와중에 많은 오해들이 있어왔고 무엇보다 가장 큰 오해는 이윤율 저하 경향법칙(이하 TRPF)을 부정하는 것으로 이해되어 온 점이다. 물론 클라이만의 지적대로 "기계화 그 자체가 아니라 임금상승 때문"^[각주:2]이라는 지적은 사실이며 이는 마르크스가 생각한 유기적 구성의 고도화와 반대되는 개념임은 사실이다. 그러나 TRPF 자체를 부정하는 것은 아니다. 왜냐하면 실질임금의 상승이 이윤율을 저하시킨다고 말할 수 있기 때문이다^[각주:3].

그런데 오키시오 정리가 기초하는 가정이 유효한가에 대한 비판이 있었다. 그리고 이 가정은 두 가지로 압축되며 이 글은 이 두 가지 가정에 대한 오키시오의 말년의 작업^[각주:4]과 시뮬레이션 모형에 대해 소개하는 데에 목적이 있다.

1. 문제제기

오키시오 정리는 두 가지 의심스러운 가정에 의존한다.

1) 실질임금은 일정하다.

기술변화 시 실질임금이 일정하다는 것은 비-화폐 경제이거나 변화된 소비재의 가격에 맞추어 화폐임금률이 순간 조정되거나 하는 것을 말한다. 그러나 이 둘은 비-현실적이다. 화폐임금률과 소비재의 가격은 노동시장과 소비재 시장의 경쟁 때문에 변동되므로 실질임금률 가정은 유지되기 어렵다.

2) 새로운 생산가격이 성립된다.

오키시오 정리는 구-균형과 신-균형을 비교하는 비교정태분석모형이다. 즉 신-균형 생산가격이 확립된다는 가정에 기초한다.

그러므로 기술변화가 없는 순수한 경쟁의 상태를 가정할 필요가 있다. 즉 신-균형 생산가격은 확립되는 것이 사실인가? 더 정확히 말하자면 그 신-균형 생산가격은 양(+)의 이윤을 담보하는가?가 핵심이 된다. 만약 양(+)의 이윤을 담보하는 생산가격이 확립된다면 정리의 현실적 의미는 충분해질 것이다.

이 말을 이해하려면 아래와 같은 도식을 생각해보면 된다.

구 균형		신 균형
(경쟁만 있는) 구 균형상태  →	기술변화 →	(경쟁만 있는)신 균형 상태 확립

 
기술변화가 없는 경쟁상태의 균형 생산가격은 바로 기술변화 이후 신 균형 상태가 확립되느냐 그리고 구 균형 상태란 존재하는가?와 같은 두 가지 동일한 의미의 문제를 제기한다. 마르크스 역시 자본의 유기적 구성이 동일하다고 가정하면서 기술변화가 없는 생산가격을 가정한 바 있다.

따라서 우리는 마르크스의 축적 경로에 대해 먼저 살펴보고 이 체계를 수정할 것이다. 그 과정에서 이 글이 목적하고 잇는 시뮬레이션 모형에 대해 소개할 것이다.

2. 마르크스의 축적 경로와 시뮬레이션

[자본론]에서 마르크스는 실질임금 일정을 가정한다. 그러나 그는 실질임금이 잉여인구에 의한 고용률에 의해 변할 수 있다는 사실에 대해서도 언급하였다. 마르크스의 주장은 다음과 같이 공식으로 나타낼 수 있다.

(2.1) $w_{t+1}=w_t[1+h(\frac{N_t}{N_s}-z)]$

여기서 w는 실질임금, N은 고용된 노동자, Ns는 잉여인구, z는 고용률의 한계수준이며 h(>0)는 노동시장의 감도계수이다. 마르크스는 자본 간에 소비재와 자본 축적 사이로 잉여가치를 배분한다고 판단하였다. 자본축적률은 s가 되며 다음과 같이 정리된다.

$sS=\Delta C+\Delta V, 0<s<1$

여기서 잉여가치 S는 다음과 같이 정의된다.

$S=N(1-wt_2)$

$t_2$는 소비재의 단위 가치를 나타낸다. 단순화를 위해 우리는 자본의 유기적 구성이 모든 부문에서 같다고 가정하며 이를 $\mu$라고 표현할 것이다. 마르크스는  $\mu$가 불변하다는 것을 기술변화가 없다는 의미로 생각했다^[각주:5]. 때문에 $t_2$는 일정하다.

$\Delta C=\mu\Delta N$

$\Delta V=w_{t+1}t_2N_{t+1}-w_tt_2N_t$

이로부터 종합하면 우리는 고용의 변화 N에 대해 얻을 수 있게 된다.

(2.2) $N_{t+1}(w_{t+1}t_2+\mu)=N_t[1+\mu-(1-s)(1-w_tt_2)]$

이 변화에 대해 우리는 끈질긴 계산을 필요로 하게 된다. 그러나 우리는 컴퓨터의 도움으로 이에 대해 반복계산을 시행할 수 있다.

Box. 1. Octave를 이용한 시뮬레이션
나는 해당 계산에 적절한 프로그램이 매트랩이라고 생각했으나 이게 유료다보니.. 난 학생도 아니므로 무료로 사용할 수 있는 Octave를 이용하여 이 시뮬레이션을 시행하여 보았다. 해당 스크립트를 모두 공개하니 스터디에 활용하기 바란다.
아래와 같이 파라미터들에 대해 먼저 정의를 하자.

$s=0.5,\mu=1,t_2=1,h=1,N_s=100,z=0.8$

여기서 우리가 경로를 추적하기를 원하는 변수 $N,w$의 초기조건 $N^0,w^0$을 설정하게 되면 우리는 그 경로를 확인할 수 있게 된다.

$N^0=70,w^0=0.7$

그림 1. 맑스의 축적경로

반복계산의 결과는 [그림1]에 나타나있다. 이는 놀라운 결과이다. 순환의 진폭은 점차 작아지고 고용율과 실질임금률은 일정한 수준으로 수렴하고 있다. 어떠한 임의의 초기조건을 주더라도 이 반복계산의 결과는 항상 고용률은 한계수준 z로 수렴하고 잉여가치율은 0으로 수렴하게 된다. 즉 $1=wt_2$로 수렴하므로 다음과 같은 잉여가치율의 정의에 의해 0이 된다는 것이다.

$\epsilon=(1-wt_2)/wt_2=(1-1)/1=0$

이 결과는 잉여가치이론에 중요한 의미를 부여한다. 자본주의 사회에서 체제 자신을 재생산하기 위해서는 잉여가치의 착취는 불가피하다. 그런데 유기적 구성이 불변이고 기술변화가 없다고 가정하면 착취율은 0으로 수렴하게 된다. 따라서 자본주의 사회는 끊임없는 기술변화가 필요하다는 슘페터의 주장과 일치하게 된다.

마르크스는 기술변화가 없다고 가정해도 잉여가치와 이윤이 양(+)인 생산가격이 가능할 것이라고 굳게 믿었다. 그러나 마르크스의 주장은 생산가격의 수렴문제에 사용될 수 없다. 생산가격의 수렴을 검토하려면 우리는 임의의 초기조건으로부터 시작되는 경로를 조사해야 할 것이다.

3. 축적 경로의 재고찰 : 모형

우리는 기술변화가 없는 상태인 두 부문(자본재와 임금재)만이 존재하는 경제를 가정한다. 이 과정은 꽤나 지루하고 복잡하기 때문에 모든 것을 설명하기는 어렵다. 자세한건 오키시오(2001)의 논문을 참고하길 바란다.

3.1. 이윤율

두 부문의 이윤율은 아래와 같이 정의된다.

(3.1) $r^t_1=p^t_1/(a_1p^t_1+n_1m^t)-1$

(3.2) $r^t_2=p^t_2/(a_2p^t_1+n_2m^t)-1$

$t$시점의 이윤율은 $t-1$의 시점에서 사전에 투입된 양이 아니라 언제나 t시점에서 정의된 투입량의 가치에 의해 결정된다고 가정된다. 이는 시점간 단일체계의 주장과 상반된다. 왜냐하면 이윤율이 사전에 투자된 가치로 평가되지 않는다고 주장하는 것이기 때문이다. 그런데 이윤율은 현재시점에서 평가된 수익성에 의해 자본가의 행동이 이루어진다고 판단되므로 이윤율의 정의에 대해 시점간 단일체계의 주장은 받아들일 수 없다.

3.2. 생산수단을 위한 수요

자본가들은 소비재를 수요하지 않고 기금을 모두 축적에 사용한다고 가정한다. 첫 번째 부문의 수요는

(3.3) $D^{t+1}_1=p^t_1(1+\beta r^t_1)a_1x^{t+1}_1$  (단 $\beta>0)$

두 번째 부문의 수요는 다음과 같다.

(3.4) $D^{t+1}_2=p^t_1(1+\beta r^t_2)a_2x^{t+1}_2$

3.3. 생산수단의 가격

그 수요를 파악했으므로 시장청산의 상품가격 $p^{t+1}_1$은 다음과 같이 정의된다..

(3.5) $p^{t+1}_1=(D^{t+1}_1+D^{t+1}_2)/x^{t+1}_1$

우리는 생산수단의 재고를 무시하며 모든 생산수단이 청산된다고 가정한다. 당연히 t+2시점에서의 생산수단의 양 $x^{t+2}_i,(i=1,2)$은 다음과 같이 정의된다.

(3.6) $x^{t+2}_1=D^{t+1}_1/p^{t+1}_1$

(3.7) $x^{t+2}_2=D^{t+1}_2/p^{t+1}_1$

3.4. 고용된 노동자와 임금

두 부문에서 고용된 노동자는 다음과 같다.

(3.8) $N^{t+1}_1=x^{t+2}_1/n_1$

(3.9) $N^{t+1}_2=x^{t+2}_2/n_2$

$t+1$에서 고용량은.

(3.10) $N^{t+1}=N^{t+1}_1+N^{t+1}_2$

노동자들은 적절한 임금이 제공되어야 한다. 그런데 노동자들은 화폐임금을 받으면서 그들이 소비재를 구매할 수 있는만큼 화폐임금을 평가하게 된다. 그런데 그들은 소비재의 가격을 알지 못하므로 일종의 소비재 가격의 기대를 형성한다고 가정되어진다.

(3.11) $pe^t=pe^{t-1}+E(p^{t-1}_2-pe^{t-1})$

여기서 $pe^t$는 $t$ 에서 소비재의 가격에 대한 노동자들의 기대를 나타낸다. 위의 가정에 따르면 화폐임금률은 다음과 같이 정의된다.

(3.12) $m^{t+1}=pe^{t+1}L(N^{t+1})^H$  (단 L, H>0)

3.5. 소비재의 가격

우리는 자본가들의 소비를 무시한다고 위에서 이미 밝혔다. 그러므로 소비재의 청산가격은 다음과 같다.

(3.13) $p^{t+1}_2=m^{t+1}N^{t+1}/x^{t+1}_2$

3.6. 시뮬레이션

우리는 경로를 설명하기 위한 모든 준비를 마쳤다. 이제 컴퓨터를 통해 이 초기조건을 조사하도록 하자.

Box. 2. Octave를 이용한 시뮬레이션

이 모형에는 13개의 변수들$r_1$, $r_2$, $p_1$, $p_2$, $pe$, $m$, $x_1$, $x_2$, $N_1$, $N_2$, $N$, $D_1$, $D_2$와 13개의 방정식(3.1)~(3,13)으로 이루어져 있으며 주어진 파라미터 $a_1$, $n_1$, $a_2$, $n_2$, $H$, $E$와 초기조건 $x^1_1$, $x^1_2$, $N^0_1$, $N^0_2$, $N^0$, $p^0_1$, $p^0_2$, $m^0$, $pe^0$, $r^0_1$, $r^0_2$를 정의하면 우리는 컴퓨터의 도움으로 이 반복계산을 시행할 수 있게 된다.

$a_1=0.5$, $n_1=1$, $a_2=0.5$, $n_2=1$
$H=0.1$, $E=0.1$
$x^1_1=100$, $x^1_2=(1-1.1a_1)x^1_1/(1.1a_2)$
$N^0=n_1x^1_1+n_2x^1_2$, $m^0=1$
$p^0_1=1.1n_1m^0(1-1.1a_1)$, $p^0_2=1.1(a_2p^0_1+n_2m^0)$, $pe^0=p^0_2$
$L=m^0/(pe^0{N^0}^{H})$
$r^0_1=0.1$, $r^0_2=0.1$

[그림2] 0으로 수렴하는 r1, r2의 경로

4. 결론

[그림2]에서 보는 바와 같이 이윤율은 0으로 수렴하게 된다. 이것이 나타내는 의미는 다음과 같다.

(1) 기술변화가 없는 상태에서 양(+)의 이윤을 보장하는 신 균형 생산가격은 확립될 수 없다. 따라서 오키시오의 두 번째 중요한 가정은 부정적인 결과를 얻은 것이 된다. 이는 오키시오도 동일하게 주장한 바이다^[각주:6]. 하지만 이 상황은 오히려 양(+)의 이윤이 확립된 생산가격을 주장하는 마르크스 경제학에 있어서도 파괴적인 것 아닌가. 즉 마르크스도 양(+)의 이윤이 담보된 생산가격을 굳게 믿고 전형 문제를 구성한 것인데 이 가정이 부정되는 것이다.

(2) 또 다른 의미는 이것이 슘페터의 주장과 일치한다는 것이다. 자본주의는 끊임없는 기술변화를 추구하지 않고서는 양의 이윤을 보장받을 수 없다는 것이다. 하지만 이런 결론이 마르크스 경제학에서는 비정합적일 수 있다. 첫째. 단순재생산표식과 확대재생산표식이 가정하는 기술변화가 없는 축적모형이 양(+)의 이윤을 보장하지 못할 수도 있다는 점. 둘째. 끊임없는 기술변화는 곧 불균형 상태의 지속을 의미한다. 이는 장기에 걸쳐 시장가격들이 수렴되는 현상으로 관측된다고 가정되었던 생산가격이라는 개념이 부정되기 때문에 높은 추상수준에서 낮은 추상수준으로 간다는 방법론 자체도 유의하지 못하다는 결론에 이를 수 있다.

(3) 마지막으로 의미가 아니라 시뮬레이션을 구성하면서 세우는 가정에 대한 의미에 대한 것이다.오키시오 스스로 지적하였지만 이윤율이 0으로 수렴하는 근본적인 원인은 고용인구가 일정하다는 가정을 하기 때문인데, 이러한 가정들을 수정하고 보정한다면 다른 결과를 얻을 수도 있을 것이다.

Box. 3. Octave를 이용한 시뮬레이션

오키시오는 다음과 같이 노동인구가 성장한다고 가정을 수정하면 이윤율이 0으로 수렴하지 않는다는 것을 보여주고 있다.

(4.1) $N^{t+1}_s=N^t_s(1+v),\:v>0$

(3.12)' $w^{t+1}=pe^{t+1}L(N^{t+1}/N^{t+1}_s)^H$ (3.12)의 수정.
노동력이 성장하는 가정을 도입하면 그 결론은 다음과 같이 0으로 수렴하지 않는 이윤율을 얻을 수 있다.

[그림3] 0으로 수렴하지 않는 r1,r2 (t=300)

[그림4] 0으로 수렴하지 않는 r1, r2 (t=1,000)

[그림5] 0으로 수렴하지 않는 r1, r2 (t=70,000)

그림 3, 4, 5는 정말로 수렴 안하는지 확인하기 위해 계산의 반복횟수를 조정한 결과이며 각각 t=300, 1,000, 70,000번의 반복횟수 결과이다. (마지막의 경우 10만번을 테스트하였는데 7만번 이상은 어디선가 오버플로우가 나는지 진행이 안 되었다. 물론 r1과 r2는 1,000번쯤에서 0.01로 계속 진행되었다. 따라서 7만번은 사실 별 의미가 없다)그러나 오키시오는 이 경우는 외생적으로 변수를 도입한 것이기 때문에 만족스러운 결론이라고 보지 않았다.

물론 우리는 이런 결론들을 곧바로 받아들일 이유는 없다. 왜냐하면 시뮬레이션을 구성하는 것 하나로 일반이론의 적절성을 판별하는 것은 설익은 결론을 낼 수가 있다. 좀 더 많은 논의와 수정을 거친 후에야 적절한 결론을 내릴 수 있을 것이라고 판단된다.

앞으로 해당 시뮬레이션에 대한 확대된 논의를 기대하고 있다. 이에 대한 희망은 류동민^[각주:7]의 논의에서 찾을 수 있었다.

오키시오의 시뮬레이션 결과는 OT의 두 번째 가정의 현실성에 의문을 제기함으로써 정리 그 자체를 부정하는 방향으로 이끄는 것처럼 보인다. 그러나 기술변화와 노동시장 간의 상호작용을 경쟁과정 속으로 도입한다면, 오키시오의 분석틀은 그대로 유지될 수 있다. 이러한 경쟁과정은 다음과 같이 이윤율 격차를 통해 작용하는 시장가격변화 및 산출량변화 간의 교차이원적 동학(cross-dual dynamics)으로 개념화되어 왔다. (Dumenil and Levy, 1993 p75).  (...) 오키시오의 기여는 이와 같이 전통적인 교차이원적 동학에다가 노동시장의 동학이라는 새로운 수준의 문제를 추가한 데 있다.

그 결과는 좀 더 지켜봐야 할 것 같다. 나도 확대된 논의가 있는지 좀 찾아봐서 공부해보겠다.

소스코드는 GitHub에 올려두었다.

Octave 소스코드 보러가기

[이관 글. 2015-10-04 작성]

1. 置塩信雄. (1961). Technical changes and the rate of profit. Kobe university economic review, 7, 85-99. [본문으로]
2. Kliman, A. (1996). A value-theoretic critique of the Okishio theorem. p208. Marx and non-equilibrium economics, 206-224. [본문으로]
3. Nakatani, T., & Hagiwara, T. A. I. J. I. (1997). Product innovation and the rate of profit. p41. Kobe University Economic Review, 43, 39-52. [본문으로]
4. 置塩信雄. (2001). Competition and production prices. Cambridge Journal of Economics, 25(4), 493-501. [본문으로]
5. Marx. K. Das Kapital, Ich. 23. para. 1 [본문으로]
6. 置塩信雄. (2001). Competition and production prices. p501. Cambridge Journal of Economics, 25(4), 493-501. [본문으로]
7. 류동민. (2006). 오키시오정리에 관한 연구. p7. 경영경제연구, 29(2), 1-10. [본문으로]