수리마르크스경제학 연습문제

수리 마르크스 경제학 연습문제

서론

류동민 저, [수리 마르크스 경제학]을 보면서, 가장 아쉬운 부분이 연습문제가 없다는 점이었다. 연습문제가 이 책에 필요한 이유는 다음과 같다.

첫째. 수학이 친숙하지 않은 독자에게 연습할 기회를 제공해야 한다.

둘째. 직접 펜을 들고 실제 수치를 가지고 계산을 해봄으로서 자신감을 배양할 수 있다.

셋째. 대체로 마르크스경제학을 학습하려는 사람들은 수학에 친숙하지 않다. 따라서 이러한 독자층을 무시하기도 어려울 것이다.

이런 점에서 이 책은 독자 일반에게 친숙하지 않다. 모처럼 수리경제학을 학습하려는 이들의 결심을 꺾어버릴 수도 있다. 그래서 나는 이 책에 대한 보완적 차원에서 연습문제를 제공해보려 한다. 저작권과 관련한 문제가 있다면 바로 삭제조치하겠다.

하지만 하나부터 열까지 친절하게 쓸 수는 없었다. 저도 수학력이 엄청 못생겼습니다만...(?) 연습문제를 제공한다 정도만... 일단 챕터 1 예비적 분석에 대해서만 연습문제를 만들었고.. 다음은 해당 글을 간간히 업데이트를 해볼까 하는데.. (반응이 좋다면??? 사실 귀찮아요..) 그리고 초보자들을 위한 해설이나 예제를 제공하지 않는다.. 그것까지 하면 너무 힘들어져... 아예 초보자라면 입문서를 직접 보시는 걸 추천드립니다..

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chepter 1. 예비적 분석

1. 마르크스의 수학초고 관련

$y=x^2$의 함수는 미분가능하다. 이를 미분하면 $\frac{dy}{dx}=2x$라는 걸 우리는 안다. (미분을 모르면 넘어가라)

1) 라이프니쯔적인 방식으로 이 문제를 풀어라. ($dx=x^{*}-x,~~dy=y^{*}-y$라는 정의식에서부터 출발하라)

2) 마르크스의 예비적 도함수로 이 문제를 풀어라. (무한소에 대한 정의식을 이용해서는 안된다)

3) 아래의 문제를 위 (1)과 (2)의 방식으로 각각 풀어라.

3-1) $y=4x^{3}$

3-2) $y=-x^{2}$

3-3) $y=-\frac{1}{2}x^{2}$

*생각해봅시다*
마르크스의 예비적 도함수의 문제점은 무엇일까? 문제점을 찾는 쉬운 방법은 반례를 하나 찾아보면 된다. 단순한 지수함수 $y=e^{x}$를 시도해보자. 이 식은 미분을 하면 $y'=e^{x}$임을 우리는 잘 알고 있다. 마르크스의 예비적 도함수 $\frac{\Delta{y}}{\Delta{x}}=\frac{e^{x*}-e^{x}}{x*-x}$로는 이러한 지수함수를 풀 수 없다는 걸 알 수 있다. 이로써 예비적 도함수의 한계를 눈치챘을 것이다. 이는 함수 $f(x)$가 다항식의 곱으로 전개가 가능한 형태만이 정의될 수 있으며 따라서 특수한 경우만 적용되는 방법인 것이다.

2. 투입계수행렬

1) 어떤 기업 1와 2로 표현되는 두 개의 기업만이 존재하며 각각 비료, 곡물을 생산한다. 기업 1은 $x_{11}=10$(kg)의 비료를 투입하여 비료 $x_{1}=30$(kg)을 생산한다. 기업 2는 $x_{21}=5$(kg)의 비료와 $x_{22}=3$(kg)의 곡물을 투입하고 곡물 $x_{2}=20$(kg)을 생산한다. 이를 각각 행렬과 벡터로 표현하면

$X_{ij}=\begin{bmatrix}x_{11}&x_{12}\\x_{21}&x_{22}\end{bmatrix}$

$x_{i}=\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{bmatrix}$

가 된다.  이 행렬과 (열)벡터에 구체적인 원소로 표현된 p43 - (1.10)식과 같은 형태로 직접 수치를 넣어 표현하라.

또한 p44의 식(1.11)을 이용하여 레온티에프 행렬로 알려진 $A$ 행렬을 만들고 $x>Ax$가 성립하는지 확인하라.

2) 앞의 문제 1)에서 행렬로 표현된 부등식과 달리 $x=Ax$인 경우 이 경제가 왜 생산적이지 않은지 혹은 왜 가능한 경제가 아닌지 직관적으로 설명하라.

3) 문제 (1)에서 1과 2 중 무엇이 자본재 기업이고 무잇이 소비재 혹은 사치재 기업인지 설명하라. (일반적인 측면에서 "부문" 또는 "생산방법"으로 접근하면 자본재 부문은 다른 자본의 생산과정에 투입될 자본을 생산한다. 이와 달리 소비재 혹은 사치재 부문은 다른 부문의 상품을 투입하여 생산하지만 여기서 생산된 재화는 다른 부문의 생산과정에 투입되지 않는다)

4) 아래 행렬들이 분해불가능한 행렬인지 여부를 조사하라. (분해가 가능한지부터 살피는 것이 쉽다)

(4-1) $\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}$

(4-2) $\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}$

(4-3) $\begin{bmatrix}15&30\\0&20\end{bmatrix}$

(4-4) 문제 (1)에서 풀이한 행렬 A

5) 문제 (4)에서 분해불가능 행렬은 분해가능 행렬을 포함하는 것이 가능한가? 반대로 분해가능 행렬은 분해불가능 행렬을 포함하는 것이 가능한가? 각각에 대해 간단하게 이유를 설명하라. (참고로 1x1 행렬도 행렬로 취급될 수 있다)

6) 어떤 경제의 투입계수행렬이 분해불가능하다면 이 경제는 어떤 상황인지 경제학적으로 설명하라. (예컨대 그 중 한 부문이 시장에서 퇴각하였을 때의 상황, 또는 한 부문의 생산량이 외부요인에 의해 저조하게 되어 시장수급에 차질이 생길 경우를 들어가며 설명해보라)

7) p48의 정리 1.1을 참고하라. 그런 다음 아래의 행렬들이 각각 정리가 성립하기 위한 행렬 A의 필요조건을 충족하고 있는가?

(7-1) $\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}$

(7-2) $\begin{bmatrix}-1&10\\-2&20\end{bmatrix}$

(7-3) $\begin{bmatrix}15&20\\10&15\\30&5\end{bmatrix}$

(7-4) 문제 (1)의 레온티에프 행렬 A

8) 문제 (4)의 행렬들에 대해 역행렬을 구하라. 그리고 역행렬을 계산해서 구한 후 $AA^{-1}=I$가 성립하는지 반드시 검증하라.

[이관 글. 2018-08-04 작성]

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1. 마르크스의 수학초고 관련

(1) $y*=x*^{2}=x^{2}+2xdx+(dx)^{2},~~y*-y=2xdx+(dx)^{2},~~\frac{dy}{dx}=\frac{2xdx+(dx)^{2}}{dx}=2x$

(2)$\frac{\Delta{y}}{\Delta{x}}=\frac{(x*-x)(x*+x)}{x*-x}$. 여기서 $x=x*$라면 $\frac{dy}{dx}=2x$

(3-1)

무한소 방법 : $y*=4x*^{3}=4[x^{3}+3x^{2}dx+3x(dx)^{2}+(dx)^{3}],~~y*-y=4[3x^{2}dx+3x(dx)^{2}+(dx)^{3}],~~\frac{dy}{dx}=12x^{2}+12xdx+4(dx)^{2}=12x^{2}$

마르크스의 예비적 도함수 : $\frac{\Delta{y}}{\Delta{x}}=\frac{4(x*-x)(x*^{2}+x*x+x^{2})}{x*-x}=4(x*^{2}+x*x+x^{2}$. 여기서 $x=x*$라면 $\frac{dy}{dx}=12x^{2}$

(3-2)

$y*=(-1)(x^{2}+2xdx+(dx)^{2}),~~y*-y=-2xdx-(dx)^{2},~~\frac{dy}{dx}=-2x-dx=-2x$

$\frac{\Delta{y}}{\Delta{x}}=(-1)\frac{x*^{2}-x^{2}}{x*-x}=-x*-x,~~\frac{dy}{dx}=-2x$

(3-3)

$y*=-\frac{1}{2}(x^{2}+2xdx+(dx)^{2}),~~y*-y=-\frac{1}{2}(2xdx+(dx)^{2}),~~\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{2}(2x+dx)=-x$

$\frac{\Delta{y}}{\Delta{x}}=-\frac{1}{2}\frac{(x*-x)(x*+x)}{x*-x},~~\frac{dy}{dx}=--\frac{1}{2}2x=-x$

2. 투입계수행렬

(1)

$X_{ij}=\begin{bmatrix}10&0\\5&3\end{bmatrix}$

$x_{i}=\begin{bmatrix}30\\20\end{bmatrix}$

$A=\begin{bmatrix}1/3&0\\1/6&3/20\end{bmatrix}$

 

$x=\begin{bmatrix}30\\20\end{bmatrix}>Ax=\begin{bmatrix}1/3&0\\1/6&3/20\end{bmatrix}\begin{bmatrix}30\\20\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}10\\8\end{bmatrix}$

 

(2) 경제주체의 생산 동기가 없게 된다.

(3) 자본재 : 1기업, 소비재 또는 사치재 : 2기업

(4-1)×, (4-2)o (4-3)× (4-4)×

(5) 분해불가능 행렬이면 가능행렬 포함할 수 없음(분해될 수 없다). 분해가능이면 분해불가능 행렬 포함할 수 있음.

(6) 파급효과이다. 수학적으로는 모리시마 미치오의 [맑스의 경제학] 참고. 실증적으로는 산업연관표의 유발계수로 대강의 파급효과를 추정해볼 수도 있다.

(7-1)× (7-2)× (7-3)× (7-4) o

(8) $\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix}1/20&0\\-1/10&2/3\end{bmatrix}$

끝.