김일성종합대학 정치경제학부 기말시험

우연히 인터넷 돌다가 발견. 연립차분방정식으로 확장된 선형생산모델에 도전해보세요(?) 그래서 저도 도전해봤습니다.

 

내가 내놓는 해답

례 1-1)

이해를 돕기 위해 메소드에 대한 안내를 먼저 해보자.

하첨자를 통해 자본재부문 1, 임금재부문 2, 사치재부문 3으로 구분하면 다음과 같이 각 부문별 수요-공급방정식은 다음과 같다. 부문 내의 수는 자본재, 임금재, 사치재가 각각 n, m, l 개의 기업이 존재한다고 하자. 그러면 여기서 투입계수행렬 $A^{(i)},~(i=1,2,3)$는 각각 $n\times{n},~n+1\times{m},~m+1\times{l}$가 된다. 전체 경제의 투입계수행렬 $A$에서 자본재와 임금재 또는 사치재는 다음과 같이 분해가능한 행렬이 된다. (다만 기초재로 이루어진 자본재부문은 분해불가능행렬이다)

$A=\begin{bmatrix}A_{11}&0\\A_{21}&A_{22}\end{bmatrix}$

단순화를 위해 여기서 임금재는 자본재, 사치재의 상품을 흡수하지 않으며 사치재는 자본재, 임금재의 상품을 흡수하여 생산과정에 투입하지 않는다고 가정한다. 그 내부에서는 쓸 수도 있고 아닐 수도 있는데(각 열의 합이 0은 아니다?) 별로 수학적으로 의미는 없는 것으로 안다.

마르크스는 독특하게도 경제를 자본재, 임금재, 사치재를 구별하여 분석하는 방식을 채택한다. 이는 케네(1894)^[각주:1]의 경제표에서 영향을 받은 것이며 프랑스경제학자들은 이렇듯 영국 고전파경제학자들과 달리 일반균형이론을 발전시킬 토대를 케네에서부터 갖추기 시작했다고 봐야겠다. 마르크스는 영국고전파경제학을 비판하며 케네를 발전시켰고 이런 토대들은 통계학자 보르드키비치(1952)^[각주:2]와 경제학자 레온티에프(1951)^[각주:3]에 이르러 발전해왔다고 해야겠다. 이런 유산은 산업연관표분석으로 발전하게 되었으며, 그래서인지 한국은행 산업연관표 자료에 마르크스가 언급되어 있다는 건 안비밀ㅋ

(1) 수요-공급방정식

자본재부문의 수요-공급방정식은 다음과 같다.

$x^{(1)}(t)=A^{(1)}x^{(1)}(t+1)+\omega{B}L^{(1)}x^{(2)}(t+1)+\gamma{x^{(3)}}(t)$

자본재부문은 일종의 기초재로 이루어져있다. 이는 마르코프체인모델에서 말하는 Reducible markov chain과 같다. 이 부문 내에서 기업들은 서로가 서로의 생산된 상품을 생산과정에서 사용하기 위해 흡수하게 됨을 의미한다. 그런데 부문을 구분하기 전과 달리 이번에는 자본재에서는 자본재를 노동자가 임금으로 받는 것은 아니다. 노동자는 임금재를 얻을 뿐이므로 노동 1시간 당 $\omega{B}x^{(2)}(t+1)$ 단위의 임금재를 얻게 된다. 또한 자본가의 소비율은 $\gamma{x^{(3)}}(t)$ 단위의 사치재를 얻게 된다.

임금재부문은 다음과 같다.

$x^{(2)}(t)=A^{(2)}x^{(2)}(t+1)+\omega{B}L^{(2)}x^{(2)}(t+1)+\gamma{x^{(3)}}(t)$

마찬가지로 사치재부문은 다음과 같다.

$x^{(3)}(t)=A^{(3)}x^{(3)}(t+1)+\omega{B}L^{(3)}x^{(2)}(t+1)+\gamma{x^{(3)}}(t)$

(2) 가치방정식 그리고 가격(?)방정식

이건 쉽다. 전체 부문에 대한 수요-공급방정식이 나오는 (l×1) 산출량벡터 $x(t)$에 (1×l) 행벡터인 가치벡터와 생산가격벡터 $\lambda{},p$를 곱해주면 되기 때문. (어머낫! 억떡계.. 제목에 가격방정식이라고 해버렸으므로 -5점은 깎이겠네?!?!?ㅠㅠ 생산가격방정식입니다... ) 귀찮으므로 하첨자를 뺀 전체를 대상으로 해서 표현하겠다.

$\Lambda{x}(t)=\Lambda{A}x(t+1)+\omega{\Lambda{B}}Lx(t+1)+\gamma{\Lambda{x}}(t)$

$p{x}(t)=p{A}x(t+1)+\omega{p{B}}Lx(t+1)+\gamma{p{x}}(t)$

여기서 마치 가치와 생산가격이 산출량에 의해 변할 것 같겠지만 사실 모든 x에 대해 가치와 생산가격 각 벡터의 원소들은 변하지 않는다. (균제성장경로이니깐 각 부문의 산출량 비율들이 변하지 않는다) 또한 여기서 $w=\omega{p{B}}$. 즉 임금률 w이므로 초기값 $x^{0}$을 이용하면

$p{x}^{0}=(1+r)(pA+wL)x^{0}$  (단 $r$은 이윤율)

이를 통해 가치방정식을 나타내는 것도 뭐 뜬금없긴 하지만 일반적으로 다음과 같이 정의하긴 한데 균제성장경로에서 이윤=잉여가치가 된다고 문제에 가정되어 있으니 간편하게.. 단지 직접노동벡터가 아니라 직접노동행렬이란 사실 때문에 전통적인 가치식 $\lambda=\lambda{A}+l$을 쓰면 안되갔구나.. 잉여가치 S를 따로 정의해야GOD구나... 도출하는게 아니라 정의가 되겠다. 그냥 넘어가자.

$\Lambda{x^{0}}=\Lambda{x^{0}}A+\omega{\Lambda{B}}Lx^{0}+Sx^{0}$

이정도면 친덕하는 김일성 동지의 넓은 아량심에 기반한 정치경제학부 교수님이 B+는 주시지 않을까시라?

 

례 1-2) 자본주의 붕괴를 수학적으로 증명하라 (아니 억떡계 하라는 소리야???)

아니 시1발 이거 미쳤나... 자본주의 붕괴라고 하면 억떡계 해... 북한다운 문제같은뎈ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ자본주의 남한과 교류해야하는데 이런 문제 있으면 다이죠부? ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ 그냥 이윤율저하경향을 보여라는 말이 아닐까. 물론 이윤율저하경향을 붕괴론으로 해석하는 것은 넘모 옛날 해석이고.. 요새 그렇게 생각하는 마경학자는 별로 없다. 워낙 쓴맛을 본 분야이기 때문에 이를 공황론과 연결시키는 경우가 많다. 내가 공황론에 대해 전문가는 아니지만, 현대의 공황론을 다루는 마경학자들이 자본주의 붕괴론과 연결시키는 경우는 없다고 알고 있다. 단지 자본주의라는 생산관계에서 공황이 필연적이라는 태도가 강한 정도. 어쨋든 그냥 저기 있는 례 1과 다른 모델을 선택할 수밖에 없다. 저 모델은 균제성장경로라고... 산출량 비율에 아무 변화가 없기 때문에 이윤율저하경향을 보이는데 적절해보이지는 않다는게 내 견해다.

마르크스의 기본정리

여기서 말하는 맑스의 1정리라는 건 뭘까? 아무래도 마르크스의 기본정리를 말함이 분명하다. 이윤이 양, 0, 음이면 잉여가치가 양, 0, 음이라는 충분조건에 대한 오키시오(1955)^[각주:4]가 정리한 증명을 말함이 아닐까? 그 역인 필요조건에 대해서는 모리시마(1977)^[각주:5]가 증명했다. 이는 잉여가치가 양, 0, 음이면 이윤이 양, 0, 음이라는 것이 되고 이것이 아마도 2정리가 될 거라고 생각한다.

모리시마-시튼-오키시오 정리로 이윤율저하경향을 보이도록 하자!

하지만 여기서 저 1정리를 가지고 례 1의 모델을 적절하게 이윤율저하경향으로 도출하기는 어려워보인다. 그래서 다른 모델을 선택해보도록 하자. 그것은 바로 모리시마-시튼-오키시오 정리^[각주:6]에서 도출되는 이윤율 공식을 이용하는 것이다. 자본의 가치구성 $\frac{C}{V}$가 모든 부문이 동일하다는 가정이라면 다음이 성립한다고 알려져있다.

$r=e\frac{V}{C+V}$ 단, e는 착취율, C, V는 각각 가치단위인 불변자본, 가변자본이다)

경제의 성장률은 위에 문제에서도 나온바지만 균제성장경로의 특성상 상수이다. 이미 말했듯이 저 모델을 쓸 수가 없다. 이윤율 저하를 말하는 거라고 생각해서... 나는 이를 t의 함수로 만들고 싶어.. (불끈불끈) 이윤율에서 일부가 총자본으로 축적되니까 다음과 같이 정의된다.

$g(t)=ae\frac{C(t)}{C(t)+V(t)}$ (단 a는 축적률)

여기서  $\frac{V(t)}{C(t)+V(t)}$를 $\frac{\frac{1}{V(t)}}{\frac{1}{V(t)}}=1$로 곱하면 $\frac{1}{\frac{C(t)}{V(t)}+1}=\frac{1}{k(t)+1}$로 간편하게 된다. 따라서 위의 식은 다음과 같이 간편해진다.

$g(t)=ae\frac{1}{k(t)+1}$

a는 상수이고 e는 잉여"가치"율이므로 산출량에 의해 영향을 받지 않을거다. 그러므로 축적률 g는 자본의 가치구성 $k(t)$에 의해서만 영향을 받는다. 마르크스는 자본의 유기적구성이 고도화됨으로서 이윤율저하경향을 낳는다고 했다. 여기서 다만 유기적 구성과 가치구성은 정의가 다르다. 하지만 유기적 구성이라는 말은 기술적 구성과 가치구성이 동일하게 변화할 경우를 나타냄. 기술적 구성은 서로 다른 단위이고 자본량을 하나의 단위로 나타내는 것은 자본논쟁^[각주:7]에서 제기된 문제를 야기하므로 여기서는 차치한다. 마르크스 스스로도 기술적 구성을 양적인 정의를 쓰긴 했는데 이를 그냥 지표적인 정의로 사용했을 것 같다. 즉 계급투쟁 지표라거나 계급의 실질적 지배 지표 정도로 생각한 것이 아닐까하는게 대강의 내 견해이다.

그러므로... 그냥 가정을 덕지덕지 붙여서 가치구성이 t에 대한 증가함수라고 치면 t가 무한히 증가할수록 g는 0으로 무한히 접근한다.

끝.

음.. 이정도면 C+는 주지 않을까시라? ... 나.. 김일성종합대학 못들어갈 것 같다.. 석박통합 받아주실래요? 석박 가즈아ㅏㅏㅏㅏㅏ

[이관 글. 2018-09-21 작성]

1. Quesnay, F. (1894). Tableau oeconomique. Macmillan. (도서) [본문으로]
2. Bortkiewicz, L. von. 1952. Value and price in the Marxian system. International Economic Papers 1952(2), 5-60 [본문으로]
3. Leontief, W. W. (1951). Input-output economics. Scientific American, 185(4), 15-21. (도서) [본문으로]
4. 置塩 信雄. "価値と価格 : 労働価値説と均衡価格論". 神戸大學經濟學研究年報 1. 1955 [본문으로]
5. Morishima, M. (1977). Marx's Economics A Dual Theory of Value and Growth. CUP Archive. (국역본)"맑스의 경제학 : 가치와 성장의 이중이론". 나남출판사. (도서) [본문으로]
6. Morishima, M. (1977). ibid. (국역본) p118. [본문으로]
7. Robinson, J. (1953). The production function and the theory of capital. The Review of Economic Studies, 21(2), 81-106. [본문으로]