가족임금 유형 모델에 대한 노트-아동노동이 없을 경우

이 글은

2021.05.29 - [정치경제학] - 가족임금 유형 모델에 대한 노트

라는 포스트의 보완을 목적으로 한다. 논문이 나올 정도는 아니고... 개인적인 연구 차원에서 연구했을 뿐이다. 이 단순한 모델은 다음을 설명하고자 함이 목적이었다.

• 여성 전가 돌봄노동이 유지되는 것은 아동노동에 의한 보상 때문이다 그러므로 자본주의 이전부터 존재해온 농경사회 생산양식의 특성 때문이 아니다. 농경사회라 하게 된다면 왜 자본주의 이후에도 돌봄노동의 여성에 대한 전가는 계속 유지되어왔는가에 대해 설명하기 어렵다.
• 자식의 노동력 가치가 커지고 부모의 노동력 가치가 줄어들면 자식은 부모의 노동력 소모를 보상해준다

모델은 모델일 뿐이다만 적어도 어떤 주장을 모델로써 제출하는 방식은 현실의 단순화를 거친다는 점에도 불구하고 여러모로 효용을 준다는 믿음에서 만들어볼 따름이다.

다만 이전 글의 모델의 불합리한 부분(이전 글의 주석 13 참고)에 대해서도 적절한 답을 내기 위해서도 이번 포스트를 작성하게 되었기도 하다. 그리고 역시 설명되지 못한 점이 또 있는데. 아동노동이 없는 경우와의 비교분석이 없었다는 점이다.

불합리한 부분

여기서 논의를 도입하는 부분에서 부모의 노동력 가치를 200, 자식의 노동력 가치를 50으로 두고 하루 노동력 재생산을 위해 가치가 재분배되는 유형에 대한 행렬 $A$를 정의하는데, 여기서 초기값은 왜 250, 0으로 하는가에 대해 우선 답을 해보자.

초기값 200, 50으로 둘 경우 이 부분은 변수 t에 대해 움직이지 않는다. 이는 $t$를 파라메터로 변형시켜 부모의 노동력 가치와 자식의 노동력 가치를 나타내는 $v_{1}(t)v_{2}(t)$의 상평면을 확인하는 편이 이해가 쉬울 것이다. 이를 R 프로그래밍을 이용하여 그려보았다.

A <- matrix(c(-2/200, 7/200, 2/50, -7/50), nrow=2, ncol=2)
x <- eigen(A)
lambda <- x$values
X <- solve(x$vectors)
for (i in seq(0,250, by=10)){  
  C = c(250-i, i)
  m <- matrix(C, nrow=2,ncol=1)
  k <- X %*% m
  x1 <- x$vectors[,1]
  x2 <- x$vectors[,2]
  
  t<-0:100
  v1 <- k[1]*exp(lambda[1]*t)*x1[1] + k[2]*exp(lambda[2]*t)*x2[1]
  v2 <- k[1]*exp(lambda[1]*t)*x1[2] + k[2]*exp(lambda[2]*t)*x2[2]
  
  plot(v1, v2, type="l", col="red", xlim=c(0,250),ylim=c(0,250),xlab="v1(t)",ylab="v2(t)")
  if (i<250)
    par(new=T)
}
title("v1(t), v2(t)")

[그림 1] v1(t)v2(t)의 상평면

이로부터 초기값 200, 50에 가까울수록 $v_{1}(t)v_{2}(t)$가 $t$를 통해 변하는 구간이 좁아진다는 것을 알 수 있다. 따라서 초기값 200, 50은 부모-자식 간 재분배가 이루어지지 않는다. 여기서 초기값이 200, 50일 경우 다음이 성립한다. 임의의 초기값을 원소로 하는 벡터 $k$라고 한다면

(1) $Ak=\begin{bmatrix}-\frac{2}{200}&\frac{2}{50}\\\frac{7}{200}&-\frac{7}{50}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}200\\50\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}$

임을 안다. 이를 증명해보자.

우리는 이전 글에서 살펴보았듯이 이미 $v(t)=c_{1}v_{1}+c_{2}v_{2}$(v(t)는 벡터이다) 가 일반해로써 가능한 해임을 알고 있으며, 이를 고유값과 고유벡터를 가지고 풀기 때문에 다음의 관계

(2) $\Lambda{X}=\begin{bmatrix}\lambda_{1}&0\\0&\lambda_{2}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_{1}^{(1)}&x_{2}^{(1)}\\x_{1}^{(2)}&x_{2}^{(2)}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-\frac{2}{200}&\frac{2}{50}\\\frac{7}{200}&-\frac{7}{50}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_{1}^{(1)}&x_{1}^{(2)}\\x_{2}^{(1)}&x_{2}^{(2)}\end{bmatrix}=AX$

로 고유값과 고유벡터를 행렬로 표현할 수 있다. 여기서 임의의 해 $c_{1},~c_{2}$에 대해 풀기 위해 초기값이 주어졌고 $t=0$일 때 $X$에 대해 일반해를 표현한 벡터방정식으로 나타내면

$Xc=\begin{bmatrix}x_{1}^{(1)}&x_{1}^{(2)}\\x_{2}^{(1)}&x_{2}^{(2)}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}c_{1}\\c_{2}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}k_{1}\\k_{2}\end{bmatrix}=k$

여기서 $X$는 식 (2)에서 알 수 있듯이 $A$의 고유벡터가 열로 결합된 행렬이란 사실에 따라 양변에 $A$를 곱해줌으로써

$AXc=\Lambda{X}c=Ak=0$

로 표현된다. 결과적으로 $k=[200,50]^{T}$라면 식 (1)이 성립한다. 이는 $Ak=0$이면 $k$에 의해 결정되는 $c$의 정의 때문에 발생한다.

이는 행렬 $A$의 정의에 문제가 있다는 점을 시사하는 것으로 보이나 하지만 큰 문제는 아니다. 예컨대 $A$를 부모-자식간에 가치가 분배되는 고정된 비율이라고 보면 된다. 어떠한 초기값에서 출발해도 항상 고정된 비율로 분배한다고 보면 될 것이다. 따라서 이 모델은

• 부모의 노동력의 가치 > 자식의 노동력의 가치
• $Ak\neq{0}$. 이는 해에 속하지만 경제적 재분배 모델로써 의미가 없는 해이다.
• (수학적으로 미분방정식 해의 존재성과 유일성 정리에 따라)$A$는 선형독립이어야 한다.^[각주:1] 즉 행과 열 각각에 대해 서로가 어떤 임의의 $m$배이면 안 된다.

라는 제약 하에 그 외의 어떠한 초기값에서부터 출발하더라도 부모-자식의 재분배는 가능하다고 봐야 한다. 좀 더 일반화하면 원소를 실수로 정의하는 것일텐데.. 별로 경제적 의미가 없어보인다... 여전히 불안한 점은 있지만.. 부적절해보이는 것에 대해 조사하였고 좀 한 걸음은 나아갈 수 있어서 기쁘다. 정도의 의미?

아동노동이 없는 경우

이제 아동노동이 없는 경우를 살펴보자. 이제 부모-자식간 정확한 재분배 조건이 무의미하므로 아동노동이 있는 경우일 때의 특별한 조건인 $Ak\neq{0}$도 필요없다. 이제 부모만 소득이 있고 자식은 소득이 없으며, 자식의 노동력 가치는 부모의 소득으로 충당하게 된다. 따라서 행렬 $A$를 대강 다음과 같이 바꿔보자.

$\begin{bmatrix}-\frac{2}{200}&0\\\frac{7}{200}&-\frac{7}{50}\end{bmatrix}$

이 경우 고유값은

$\lambda_{1}=-0.14,~~\lambda_{2}=-0.01$

이전 글과 동일한 방식으로 일반해를 구하여 그래프로 표현하면 다음과 같이 된다.

[그림 2] 아동노동이 없는 경우의 그래프

당연하게도 0으로 수렴하게 된다. 자식이 소득이 없고 부모의 소득에서 보충하게 되니 이런 상태가 계속되면 0이 될 것이다. (빛이 쌓일 수도 있는데 이경우는 지수함수로 나타내고 있기 때문에 그럴 일은 없다)

그러므로 아동노동이 있어서 부모에게 소득이 재분배되는 체계에서는 출산을 되도록 많이 하면서 아이를 양육하는데 따른 보상을 준다. 즉 이 모델은 Folbre(1994)^[각주:2]의 가설에 의문을 제기한다. Folbre는 농경사회에서 자식이 농토를 물려받아 노년의 부모에게 보상을 해줄 수 있었으므로 (도시의 경우 자식은 그곳을 이탈하여 도심지로 갈 수 있다) 농경사회와 산업사회를 구분하여 설명하는 방식을 취한다. 하지만 이 모델은 자본주의 안에서 아동노동이 허용된다면 산업사회 안에서도 양육과정에서 (적어도 보육과정이 지난 아이의 노동에 의해) 보상이 가능하다는 점을 보여준다.

결론

내 생각은 사실 간단하다. 자본주의에서도 아동노동이라는 제도가 존재하는 한에서도 양육노동은 가족공동체에 보상을 제공할 수 있었다. 즉 부모가 노년이 되어 보상을 받는 것이 아니라 사실 아동노동 제도로 인해 그 기간은 더 짧으며 보상을 얻을 수 있었다는 것이다. 실증적인 차원에서 고려해보지는 않았으나 일단 유민상&박종석(2016)^[각주:3]에 따르면 민주화 이후 아동노동이 급격하게 감소했다고 한다. 민주화 이전에도 엄연히 국민교육제도가 있었음에도 15세 미만 아동의 공장노동은 한국에서 꽤 흔한 편이었다고 알려졌다. 아동노동이 규제되면서 양육노동에 대한 기회비용은 더 높아졌을 것이다. 여성노동자 고용이 증가하게 된 것도 대략 저정도 즈음이 아닐까? 내 전문영역이 아니라 이 부분에 대한 연구는 좀 더 살펴볼 계획이다.

[이관 글. 2018-10-09 작성]

1. ERWIN KREYSZIG. (2012). KREYSZIG 공업수학 (상). p164. 역 김순자 외 12명. 범한서적. 개정9판. (도서물) [본문으로]
2. Folbre, N. (1994). Who pays for the kids? (pp. 27-9). London: Routledge. [본문으로]
3. 유민상, 박종석. (2016). 한국의 아동노동: 아동노동은 어떻게 이용되고, 규제되고, 금지되었는가?. 어린이재단 연구논문 모음집, 2016(0), 216-247. [본문으로]