분해불가능행렬과 연결행렬 추정

보통 선형생산모형에서 투입계수행렬 $A$가 분해불가능한 성질 또는 분해가능한 성질이라고 말하는 것을 볼 수 있다. 오늘은 이에 대한 성질을 확실히 이해하자는 측면에서 공부가 시작되었고 이를 정리해보도록 하자.

먼저 언급할 사항은 분해(불)가능행렬의 수학적 성질은 스라파경제학, 마르크스경제학 모두 동일하다. 다만 그 경제학적 설명은 차이가 있다는 점에서 각각의 관점을 먼저 설명한 후 수학적 성질에 대해 다루도록 하겠다.

스라파 경제학에서 분해불가능행렬

스라파 경제학에서 분해불가능행렬은 곧 기초재만 존재하는 체계를 말한다. 그렇다는 말은 비-기초재가 하나라도 존재하는 경제는 분해가능행렬이라는 말이 된다. 왜 기초재가 스라파 경제학에서 중요한가. 왜냐하면 기초재만 존재하는 체계에서만이 표준상품이 존재하는 '표준체계'가 성립하기 때문이다.^[각주:1]

"(...) 기초재(basic products), 즉 모든 생산공정에 직접·간접 생산수단으로 투입되는 상품들과,비기초재(non-basic products), 즉 생산수단으로 사용되지 않거나 오직 일부 생산공정 몇몇에만 직접·간접으로 사용되는 상품들 사이의 구분이다." Roncaglia(1978)^[각주:2]

 

뒤에 수학적 성질에서 고찰할 것이지만 선형생산모형에서 비-기초재의 이윤율은 기초재의 가치에 의존하지만 기초재의 이윤율은 비-기초재에 전혀 의존하지 않는다. 이러한 성질을 이용해 오키시오는 마르크스가 사치재 산업 역시 균등이윤율에 참여한다는 생각을 비판한 바 있다.

만약 비-기초재가 존재한다면 비-기초재의 가격이 음(-)일 수 있다는 것이 Newman(1962)^[각주:3]에 의해 제출되었다. 그러나 스라파와 뉴먼 간에 교환된 서신^[각주:4]을 보면 스라파는 분명 이 문제에 대한 적절한 답을 가지고 있었음을 알 수 있다.

이에 대해 아주 직관적인 설명은 Roncaglia(1978)를 참고하겠다. 그는 비-기초재가 음의 가격을 갖는 경우는 오직 자기 자신의 생산에 투입물로 요구되는 비-기초재에 대해서만 발생할 수 있다고 한다. 그 조건은 이렇다. 음(-)의 가격이 나오는 비-기초재 부문에서 생산된 생산수단을 제외하고 모든 생산수단의 가격이 0이라고 가정하자. 그렇게 얻은 그 비-기초재 부문의 이윤율을 또 다른 "기초재들로만 이루어진 체계"로 분해된 체계의 이윤율과 비교하면 비-기초재 부문의 이윤율이 더 낮다는 것을 말한다고 한다.

이것은 효율적이냐 아니냐를 따지는 것은 아니다. 이는 정책적인 아이디어를 생각하게 해줄 수 있다. 예컨대 임금재는 비-기초재인데, 리카도는 임금재에 부과되는 세금은 실제로 세의 법칙에 따라 이윤에 부과하는 것과 같으며 자본축적 기금을 감소시킨다고 비판하였으나, 스라파의 이론에서는 임금재에 부과되는 세금은 이윤율에 어떠한 영향도 주지 않는다고 말할 수 있다는 것이다. 오히려 그렇기 때문에 그것 자체는 노동자계급에 일방적인 부담을 준다고 볼 수 있다. 물론 이는 이론적인 설명이라 현실의 정책에 대해 말할 수 있으려면 좀 더 실증적인 증거가 필요해보인다.

비-기초재에 대한 또 다른 개념으로 Zaghini(1967)의 언급을 인용해보자.

"가정에 의해 이윤율은 체계 전체에서 균등하므로, …… 비기초재 산업들은 기초재 산업군(群)에서 독립적으로 결정된 이윤율을 받아들일 수밖에 없다. 그러나 비기초산업들이 이 균등이윤을 받아들여야만 한다는 사실이 곧 그 이윤율을 받아들일 수 있다는 것을 뜻하지는 않는다. 그 이윤율을 받아들일 수 있을 필요충분조건은 그 산업들의 구조가 (위에서 언급된 조건들을) 만족한다는 것이다." Zaghini(1967)^[각주:5]

 

마르크스 경제학에서 분해불가능행렬
마르크스 경제학에서 분해불가능행렬의 성절은 다음의 취지로 사용한다.

1) 노동가치가 양(+)인 조건
이는 Morishima(1973)^[각주:6]에 의해 이용되기 시작한 가정이다. 노동가치가 양(+)인 조건으로서 분해불가능행렬 가정을 요구하는 것이다.

이에 대해 Okishio(1974)^[각주:7]는 $l>0$이라는 가정이 현실적합적이라고 하였다. 하지만 이에 대한 Morishima의 비판은 다음과 같다.^[각주:8]

첫째. 먼저 생산수단을 생산하는 $i$ 부문과 $i$의 생산물을 생산수단으로 이용만 하고 직접노동량이 0인 임금재 부문 또는 사치재 부문이 존재한다고 하자. 마르크스가 가치가 양(+)이라고 판단한 것은 $i$ 부문의 직접노동량 $l_{i}>0$이라고 가정한 것과 같다. 그렇다면 임금재 부문 또는 사치재 부문의 직접노동량이 0이라 하더라도 가치는 양이 된다. 하지만 만약 생산수단의 직접노동량이 $l_{i}=0$이라고 한다면 가치가 0이며 잉여가치 역시 0이 된다. 따라서 $l>0$이라는 가정은 이럴 경우 성립하지 않는다.

둘째. 착취는 미시적 현상이 아니라 전체 자본가계급과 노동자계급에 의해 수행되는 거시적 현상이다. 직접노동이 0이라 하더라도 직접적인 노동자착취가 일어나지 않는다고 하더라도 분해불가능행렬을 가정하면 간접적으로 노동자가 착취되고 있다는 것을 설명할 수 있는 장점이 있다.

Morishima는 분해불가능행렬 가정이 $l>0$에서 $l\geq{0}$으로 가정이 완화된 것이라고 주장하지만 뒤에 수학적 성질에 대해 알아보겠지만 완화된 가정이 아니라 제약조건이 강해지는 가정일 가능성이 있다.

2) 단순화를 위한 조건

분해불가능행렬을 가정하는 것은 직접적, 간접적 산업연관 관계가 형성된 세계를 가정하는 것과 같다. 즉 모든 부문의 생산물은 다른 부문의 생산수단으로 직접적, 간접적으로 관계를 맺고 있다고 가정하는 것이다. 이런 경우 가치가 음(-)이 될까봐 염려할 필요가 없다.

하지만 마르크스는 임금재 또는 사치재 부문이 균등이윤율에 참여한다고 생각하였다. 또한 마르크스 경제학은 총자본의 관점에서 자본재, 임금재, 사치재를 모두 분석한다는 점에서 분해가능행렬 가정이 오히려 분석목적에 적합한 것으로 보이지만, 생산가격 체계에서 비-기초재는 균등이윤율에 참여하지 않는 문제가 있다. 또한 이런 경우 가치 크기의 정의가 문제가 될 수 있기 때문에 모형을 다룰 때 마경학자들은 분해불가능행렬을 자주 가정하곤 한다. 따라서 단순화의 목적이 있을 뿐, 현실적합적이라는 관점에서 이런 가정을 하는 것은 아니다.

분해불가능행렬의 수학적 성질

1) 기초재와 비-기초재

분해불가능행렬을 설명하는 데 위에서도 살펴보앗듯이 기초재와 비-기초재의 구분이 가장 쉬운 설명이 될 것이다. 우선 이를 기준으로 설명하도록 함에 주의하라.

먼저 ${n}\times{n}$ 투입계수행렬에서 $i$ 번째 행의 위치를 $j$ 번째 행과 바꾸고 동시에 $i$ 번째 열의 위치를 $j$ 번째 열과 바꾸는 일을 임의로 반복하여 다음과 같은 형태로 만들 수 있다면 투입계수행렬은 분해가능행렬이라고 한다.^[각주:9]

(1) $A=\begin{pmatrix}A_{11}&0\\A_{21}&A_{22}\end{pmatrix}$

여기서 $A_{11}$은 $k\times{k}$ 분해불가능행렬로 행과 열의 수가 같은 정방행렬이다. ($0$ 행렬과 $A_{21}$이 정방행렬이 아닐 수 있는데, 왜냐하면 $0$ 행렬은 $(k\times{(n-k)})$. $A_{21}$은 $((n-k)\times{k})$이기 때문에 정방행렬이 아닐 수 있기 때문이다. 여기서는 문제를 단순하게 하기 위해 정방행렬이라고 가정하자. 그러면 모든 행렬이 정방행렬이 된다. 정방행렬이 아니라고 해도 문제를 푸는 데 어려운 것은 아니다. 이는 뒤에 추가하겠다) 즉 $A_{11}$은 다시 위의 $A$와 같이 재배열을 할 수 없는 행렬인 것이다.

그런데 행과 열을 바꾸는 것은 산업과 상품을 명칭을 뒤바꾸는 것과 같다. 따라서 각 산업의 직접노동량벡터 $l$과 가치벡터 $\lambda$ (이들은 모두 행벡터이다) 그에 맞게 재배열되어야 한다. 이렇게 재배열된 벡터는 다음과 같다.

$l=\begin{bmatrix}l_{1}&l_{2}\end{bmatrix}$, $\lambda=\begin{bmatrix}\lambda_{1}&\lambda_{2}\end{bmatrix}$

이 경우 다음과 같은 두 개의 체계로 분리될 수 있다.

(2) $\lambda_{1}=\lambda{A_{11}}+l_{1}=l(I-A_{11})^{-1}$

(3) $\lambda_{2}=\lambda_{1}A_{21}+\lambda_{2}A_{22}+l_{2}$

위에서 (2)식은 기술적 조건 $A=\begin{Bmatrix}A_{11},&A_{11},&A_{11}\end{Bmatrix}$와 $l=\begin{Bmatrix}l_{1},&l_{2}\end{Bmatrix}$이 주어져있으므로 즉각 구할 수 있다.

이에 반해 (3)식을 보자. 여기서는 가치벡터 $\lambda_{1}$이 먼저 구해져야 만이 식을 구할 수 있다. 예컨대 (3)식 양변에 $\lambda_{2}A_{22}$를 빼주면

$\lambda_{2}(I-A_{22})=\lambda_{1}A_{21}+l_{2}$

그리고 $(I-A_{22})^{-1}$를 뒤에서 곱해주면

$\lambda_{2}=[\lambda_{1}A_{21}+l_{2}](I-A_{22})^{-1}$

(2)식이 정의되면 (3)식은 해를 구할 수 있다.

다른 한편 만약 $A_{21}$이 정방행렬이 아니라고 해도 그것은 전치행렬 과정이 추가되는 것일 뿐, 아무 문제 없이 해를 풀 수 있다.

$\lambda_{1}=\lambda_{1}A_{11}+l_{1}$

$\lambda_{2}=[A_{21}\lambda_{1}^{T}]^{T}+\lambda_{2}A_{22}+l_{2}$ 단 윗첨자 $T$는 행과 열이 뒤바뀐 전치형태를 의미한다.

이에 대한 계산의 문제를 언급한 문헌은 없는 것으로 보인다. 모리시마나 스라피언 들의 분해가능행렬에 $0$ 행렬과 $A_{21}$이 정방행렬이라고 가정하는 것 같다. 내가 확인한 바로는 굳이 정방행렬을 가정할 필요가 없지만 "전치" 과정이 복잡해서 그런 것인지.. 자세히는 모르겠다. (누군가 아시는 분이 계시면 말씀 부탁드린다)

이제 분해불가능행렬의 성격에 대해 알아보자.

여기서 기술적 조건 $A_{11}$과 $l_{1}$이 크기가 변화하면 가치벡터 $\lambda_{1}$과 $\lambda_{2}$ 모두 변할 것이다. 즉 상대가치가 모두 변한다. 그런데 체계 (2)는 체계 (3)과 확실히 독립되어 있다. 따라서 (3)의 기술적 조건 $A_{21},A_{22}$와 $l_{2}$의 크기가 변화하면 $\lambda_{2}$가 변한다해도 $\lambda_{1}$은 아무 영향을 받지 않는다.

그러므로 이것에 속하는 $k$ 개의 상품들이 분해불가능행렬에 속하는 것이며 이를 다시 (1)의 체계로 분해할 수 없는 특성을 갖는다. 분해가능행렬이란 결국 (1)식과 같이 분해가 되는 체계 전체를 얘기한다. 마르크스경제학의 용어로 하면 분해불가능행렬이란 한 경제의 모든 산업이 생산수단 또는 임금재라 해도 모든 부문이 생산수단을 생산하는 체계를 말하며, 분해가능행렬이란 생산수단만 생산하는 부문, 임금재 또는 사치재만 생산하는 부문까지 포함되어 "분해가 가능한" 전체 체계라고 생각하면 된다.^[각주:10]

2) Connceted Matrix
Krause(1982)^[각주:11]에 의한 분해불가능행렬에 대한 내용은 더 흥미롭고 직관적인 내용을 담고 있다. 이를 참고하여 전개하여 보도록 하자.

Krause는 다음의 연결된 행렬(Connceted Matrix)과 분해불가능행렬은 동일하다고 한다. 먼저 비음인 행렬 $a_{ij}>$0이거나, 또는 $a_{ii_{1}}>0$, $a_{i_{1}i_{2}}>0$, $a_{i_{2}i_{3}}>0$, … ,$a_{i_{r}j}>0$이거나 둘 중 하나가 성립하는 수열 $i_{1}$, $i_{2}$, …, $i_{r}$이 존재한다고 한다. 여기서 이 수열은 지수의 집합이 된다. "지수의 집합"이라는 것에서 이해가 어려울 수 있다. 여기서 지수란 지수, 멱을 일컫는 exponent, power가 아니라 지표, 색인 등을 의미하는 index라고 생각하면 이해가 쉬울 것이다. 이것은 다음의 예로 충분히 이해할 수 있을 것이다.

예컨대 $a_{12}=0$이라고 하자. 그럼에도 분해불가능행렬은 성립한다고 하자. 그러면 어떤 지수의 집합 $a_{13}a_{34}a_{42}>0$이 성립하는 수열 $1,3,4,2$가 존재한다는 것이 된다. 따라서 이 행렬은 분해불가능행렬이 된다.

즉 1 부문은 2 부문의 생산물을 직접적으로 사용하지 않는다. 그러나 여기에 투입되는 3 부문의 생산물은 4 부문의 생산물이, 그리고 4 부문의 생산물은 2 부문의 생산물을 사용하고 있으므로 연쇄관계에 따라 1 부문은 2 부문의 생산물을 간접적으로 사용한다고 볼 수 있는 것이다. Krause는 분해불가능행렬이란 이러한 관계를 전제하는 것이라고 하였다. 따라서 위에서 언급한데로 Morishima의 분해불가능행렬 가정은 Okishio의 직접노동량은 0보다 크다는 가정보다 더 강화된 가정이라는 것이다.

4. 산업연관표를 이용한 연결행렬 추정
위의 Connected Matrix의 가정을 통해 산업연관표를 재구성할 수 있다. 이 시뮬레이션의 목적은 다음과 같다.

첫째. 실제 산업연관 관계를 통해 지수집합의 경로가 1차적으로 가능한 지 탐색한다. (모든 경로를 탐색하지 않는다)

둘째. 행과 열을 치환하므로서 분해가능행렬과 분해불가능행렬로 분리할 수 있음을 증명한다.

Krause의 가정은 $a_{ij}>$0이거나, 또는 $a_{ii_{1}}>0$, $a_{i_{1}i_{2}}>0$, $a_{i_{2}i_{3}}>0$, … ,$a_{i_{r}j}>0$이거나 둘 중 하나가 성립하는 수열 $i_{1}$, $i_{2}$, …, $i_{r}$이 존재한다는 것이다. 이는 예컨대 1 부문이 2 부문의 생산물을 직접적으로 사용하지 않는 경우 다른 부문의 투입되는 생산물 중 2 부문의 생산물을 사용하는 연쇄가 존재하는 조건은 어떤 산업 $n$을 투입물로 사용할 때 $a_{nj}>0$이어야 한다는 것이다. 가능한 지수의 집합을 찾아내는 것은 몬테카를로 탐색이 필요하다. 그런데 상당한 연산 횟수가 예상된다. 예컨대 실제 산업연관표의 소분류의 행렬은 $161\times{161}$라면, 가능한 모든 지수집합을 탐색하려면 한 산업의 $a_{ij}=0$인 경우 j와 연쇄되는 지수집합 탐색은 직접 확인해본 결과... 최대 $(n-1)^{(n)}$ 번의 연산이 필요하다...

이를 자세히 설명하자면 $i=j$인 목록을 뺀 $n-1$ 개의 행 모두를 탐색해야 한다. 먼저 어떤 임의의 행 $i$에서부터 출발한다고 하자. 이 행에는 $i\neq{j}$인 원소가 $n-1$ 개가 존재할 것이다. 이 원소들 각각은 또 다른 임의의 행 $m$에서 $i\neq{j}$인 $n-1$개의 원소들을 탐색해야한다. 따라서 $i$ 행이 $m$을 탐색하는 총횟수는 $(n-1)^{(n-1)}$이 된다. 이제 한 행을 뺀 탐색할 행은 모두 $n-1$ 개이므로 앞에 $(n-1)$을 곱해주면 모든 탐색횟수가 구해지는 데, 즉 $(n-1)(n-1)^{(n-1)}=(n-1)^{n}$이 되는 것이다. 뭔 소리인 거냐 물론 탐색은 0이 존재하면 탐색을 멈추지만... 분해불가능행렬에 대해 이 계산을 수행하면 (말그대로 재수가 없으면) 최대 $(n-1)^{(n)}$ 번의 계산이 이루어질 거라는 소리이다. 헐.. 이건 미친 짓이다. 따라서 1차적인 루트만 판별한다.

1차적인 루트만 판별한다는 말은 $r=1$로 가정하는 것으로, 이는 지수의 집합이 $a_{ii_{r}}>0$, $a_{i_{r}j}>0$과 같다는 소리이다. 예를 들어 $a_{32}=0$라면 $a_{h2}$ $(h=1,2,...,n,i\neq{j}))$가 $0$보다 큰 것이 하나라도 있다면 연결된 행렬이 성립한다는 것이므로 3 부문은 2 부문에 대해 "연결되어있다"는 것이다. 반대로 모든 원소가 $0$이면 2 부문과 독립되어 있다고 보는 것이다.

이제는 직접 한국은행 경제통계시스템(ECOS)에서 배포하는 산업연관표 2013년 데이터를 이용해보자. 이걸 가지고 부문마다 그 연결된 행렬과 연결되지 않은 행렬을 각각 카운트를 하여 표로 나타내면 연결수가 가장 많은 부문 상위 10개는 다음과 같다. [분류표]는 산업이 아니라 상품의 분류로 가져온 것 같다...;;; 그냥 씁니다 귀찮.,.

[표 1] 연결 수가 가장 많은 부문 상위 10

분류	비-연결 수	연결 수
떡, 과자 및 면류	0	160
기타 식료품	0	160
비알콜음료 및 얼음	0	160
직물제품	0	160
의복제품	0	160
가죽제품	0	160
목제품	0	160
종이류	0	160
종이제품	0	160
인쇄 및 복제	0	160

연결수가 가장 적은 부문 상위 10개는 다음과 같다.

[표 2] 연결 수가 가장 적은 부문 상위 10

분류	비-연결 수	연결 수
담배	160	0
특장차 및 트레일러	160	0
주거용 건물	160	0
비주거용 건물	160	0
교통시설 건설	160	0
일반토목시설 건설	160	0
산업시설 건설	160	0
기타 건설	160	0
주거서비스	160	0
사회보험서비스	160	0

그렇다면 위의 테스트 결과는 무엇을 말해주는 건가? 별거 없다. [표 1]은 기초재라는 소리이다. 161개의 소분류 산업표에서 이 놈들이 생산하는 생산물은 직접적/간접적(비록 1차적인 지수집합이지만)으로 모든 부문에서 생산수단으로 이용되고 있다는 소리이다.

[표 2]는? 직접적으로도 간접적으로도 연결된 행렬이 없다는 것인데.. 주의할 사항은 이는 1차적 루트만 추린 것이므로 추정치에 불과하다. 건설 부문의 경우 일종의 최종소비재의 형태이므로 당연히 생산수단으로 사용되지 않을 것이다. 또한 특장차 및 트레일러는 "제조업"을 나타낸다. 다만 이것의 경우 트레일러를 유통서비스업이 생산수단으로 사용하는 경우가 많으므로 이 자료를 다 신뢰해서는 안 되는 반례라 하겠다.

[이관 글. 2016-08-03 작성]

1. 표준상품에 대해서는 본 블로그의 "표준상품과 전형문제"를 참고할 것. 링크 : [본문으로]
2. Roncaglia, Alessandro, and Jan Allen Kregel. "Sraffa and the Theory of Prices". New York: Wiley, 1978.<번역본>스라파와 가격이론. 박만섭 역. p159 인용. [본문으로]
3. Newman, Peter. "Production of commodities by means of commodities." Swiss Journal of Economics and Statistics (SJES) 98.I (1962): 58-75. [본문으로]
4. Roncaglia. 1978. op. cit. <번역본 p183> [본문으로]
5. Zaghini, Enrico. "On non-basic commodities.". p261. Swiss Journal of Economics and Statistics (SJES) 103.II (1967): 257-266. [본문으로]
6. Morishima, Michio. Marx's economics: a dual theory of value and growth. CUP Archive, 1973. <번역본: "맑스의 경제학". 류동민 역. 나남출판사> [본문으로]
7. 置塩信雄. "Michio Morishima:: Marx's Economics." 《経濟研究》 1974년 1월호. [본문으로]
8. Morishima. 1973. op. cit. 국역본 2장 9번 역주 참고. [본문으로]
9. Roncaglia. 1978. op. cit. <번역본 p80> [본문으로]
10. 류동민. "수리 마르크스 경제학". p47~48. 충남대학교출판문화원. 2016. [본문으로]
11. Krause, Ulrich. "Money and abstract labour". p143~146. NLB/Verso, 1982. [본문으로]