착취율 곡선과 베타 분포의 관계

여기서는 모리시마 미치오의 잉여가치 착취율 곡선^[각주:1]을 그려보고 이를 베타 분포와 관련시키는 논의를 진행해보고자 한다.

1. 착취율의 정의

먼저 잉여가치 착취율의 곡선을 그리기 위해 우리는 잉여가치율에 대해 기본개념으로부터 전개해야 할 것이다.

노동자들이 최대로 지출할 수 있는 한계노동시간의 절대적 크기인 $\bar{T}$가 있다고 하자. 그리고 현재의 노동시간 혹은 대표적인 노동시간이라 할 수 있는 현재노동시간 $T$가 있으며 이와 함께 노동자가 자신의 노동력을 보전하기 위해 필요한 필수소비재 단위를 원소로 하는 벡터를 $b$라고 하고 직,간접적인 노동시간으로 표현되는 소비재의 가치를 $\lambda$라고 하면 다음의 관계로 나타낼 수 있다.

$\bar{T}\geq{}T>\lambda{}b$

이로부터 현재의 잉여가치율을 다음과 같이 정의할 수 있다.

$e=\frac{T-\lambda{}b}{\lambda{}b}$

마경 연구자들은 이런 방식보다 현재의  $\omega=1/T$를 도입한 다음의 식을 자주 사용한다.

$e=\frac{1-\omega{}\lambda{}b}{\omega{}\lambda{}b}$

여기서 현재 노동시간 $T$가 최대노동시간 $\bar{T}$에 근접한다면 착취율은 최대 착취율로 극대화될 것이다.

이제 곡선을 그릴 준비가 된 것이다.

2. 착취율 그리기

R을 이용하여 곡선 그리기를 시도하자. 먼저 착취율 데이터를 파라메터로 입력하여 착취율 함수값들을 얻을 수 있는 함수 fExploitList(T0, lambda, b)라는 함수를 만들도록 하자.

#<summary>
#  <param name="T0">최대노동시간</param>
#  <param name="lambda">노동벡터(1 by n)</param>
#  <param name="b">소비재 사용단위벡터(n by 1)</param>
#</summary>
fExploitList <- function(T0, lambda, b){
  n = 100
  lb <- as.numeric(lambda %*% b)#필수소비재의 가치 얻기(스칼라)
  
  x$w <- seq(1/T0, 1/lb, length.out=n)#omega의 최대값과 최소값 사이의 공간
  x$e <- (1-w*lb)/(w*lb)#착취율
  
  x$a <- x$w[1]
  x$b <- x$w[length(x$w)]
  
  return(x)
}

자. 이제 구체적인 데이터를 정해보자. 필수소비재가 2개가 존재하는 세상을 고려하여 다음의 수치로 잉여가치율 곡선을 그려볼 수 있겠다.

$T=60,~\lambda=\begin{bmatrix}39&45\end{bmatrix},~b=\begin{bmatrix}3/5&2/7\end{bmatrix}^{T}$

이제 착취율 데이터를 List로 받아서 곡선을 그려보면 다음과 같이 된다.

x <- fExploitList(T0 = 60,
  lambda = matrix(c(39, 45), nrow=1, ncol=2),
  b = matrix(c(3/5, 2/7), nrow=2, ncol=1)
)

plot(x$w, x$e, xlab="1/T", ylab="e", type="l")#그래프
title("Exploitation Rate")
abline(v=x$a, col="red", lwd=1, lty=4)
abline(v=x$b, col="blue", lwd=1, lty=3)
legend("topright", legend=c("1/T0","1/(lambda b)"), fill=c("red","blue"))

착취율 곡선

여기서 $\omega=1/T$를 변수로 하여 착취율 $e$와의 함수관계를 잘 나타내고 있다. 노동시간 $T$가 최대노동시간 $\bar{T}$에 근접하게 되어 일치하게 되면 그 점에서 착취율은 극대화된다. 이와 달리 $T$가 소비재의 가치 $\lambda{}b$에 근접하게 되어 일치하게 되면 그 점에서 착취율은 극소화된다. 그림에서는 그 점을 $1/\bar{T}$점을 붉은선으로 세로로 표시하였고 $1/(\lambda{}b)$를 파란색으로 세로로 표시하여 이 점이 분명하게 드러날 것이다.

3. 착취율에 따른 저항도

한 번 생각해보자. $\omega$가 $1/\bar{T}$에 근접할 때 자본가계급에 더 많은 잉여가치가 들어오게 되지만 노동자계급의 입장에서는 피로도와 산재가 증대하여 생산현장에서 불만들이 나타나게 되고 노동자들이 조직되어 대응할 가능성이 더 커질 것이다. 반대로 $\omega$가 $1/(\lambda{}b)$에 근접할 때는 자본가계급에게 들어오는 잉여가치가 0에 근접하게 되어 구조조정 및 해고 등으로 대응할 가능성이 더 커질 것이다.

앞으로 보게 되겠지만 양 극단에서 계급투쟁이 심화될 가능성이 커지는 형태를 베타 분포를 통해 조사될 것이다.

4. 베타 분포

0과 1 사이의 실수로 이루어진 $X$가 있다고 하자. $X$가 양의 실수 $\alpha,~\beta$에 대하여 다음과 같이 $X$의 관측값 $x$에 대한 확률밀도함수를 가진다고 하면 $X$는 베타 분포를 따른다고 한다.^[각주:2]

$f(x|\alpha,~\beta)=\frac{\Gamma(\alpha+\beta)}{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1},~~0<x<1$

위키백과를 보면 베타 분포는 양의 상수 $\alpha,~\beta$에 따라 다양한 형태가 나타나는 것을 알 수 있다. 여기서 우리의 예시에는 $\alpha=1/\bar{T}$와 $\beta=1/(\lambda{}b)$를 도입하여 착취율과 베타분포의 관계에 대해 조사해보고자 한다.

R에서는 베타 분포에 대한 확률밀도함수를 dbeta() 함수를 통해 얻을 수 있다.

x$alpha <- x$e[1]
x$beta <- x$e[length(x$e)-1]
x$dBetaProb <- dbeta(x$e, shape1=x$alpha, shape2=x$beta)
plot(x$e, x$dBetaProb, xlab="e", ylab="prob", type="o")
title("beta distribution prob")

착취율이 베타 분포를 따른다는 가정 하에 구한 확률밀도함수

이 형태는 완전한 U자 형태는 아니지만 적어도 우리에게 흥미로운 사실을 보여준다. 이러한 독특한 U자 분포 형태는 $\alpha,~\beta~<1$일 경우 나타나기도 하지만 적어도 양극단에서 높은 확률로 분포된다는 점 때문에 위에서 우리가 생각한 개념을 잘 재현해주고 있음을 알 수 있다.

이제 다른 경우를 생각해보자. 너무 많은 잉여가치를 이미 얻고 있는 상황과 너무 적은 잉여가치를 얻고 있는 상황을 생각해보는 것이다. 전자는 착취율 곡선의 기울기가 가파라진 상황이고 후자의 경우 착취율 곡선이 완만해진 형태로 생각하면 될 것이다. 이 경우 각각 베타 분포는 어떻게 달라지는가?

(1) 너무 많은 잉여가치를 얻고 있는 상황

이런 상황은 자본가계급에 매우 유리한 지배적 상황이라고 생각해볼 수 있다.

먼저 위에서 베타 분포를 구한 코드를 함수로 만든 후

fExploitDistr <- function(x, titleName){
  x$alpha <- x$e[1]
  x$beta <- x$e[length(x$e)-1]
  x$dBetaProb <- dbeta(x$e, shape1=x$alpha, shape2=x$beta)
  plot(x$e, x$dBetaProb, xlab="e", ylab="prob", type="o")
  title(titleName)
}

잉여가치를 늘리기 위해 다른 변수들을 일단 고정시켜두기 위해 변수에 담아두자.

x1 = matrix(c(39, 45), nrow=1, ncol=2)
x2 = matrix(c(3/5, 2/7), nrow=2, ncol=1)

여기서 변해야 하는 건 최대 노동시간 $\bar{T}$를 늘려보는 것이 가장 간단할 것이다. 60에서 70으로 올려서 자본가계급이 전보다 더 유리한 상황이라고 해보자. 그렇게 되면 베타 분포는 다음과 같이 된다.

#(1) 너무 많은 잉여가치
fExploitDistr(x <- fExploitList(T0 = 60, x1, x2), titleName="beta distribution prob (T0=60)")

T0=70일 때

착취율이 최대노동시간에 대응되는 착취율에 근접할수록 상당히 큰 투쟁 가능성이 있으나 착취율이 0에 근접할수록 이에 비해 투쟁 가능성이 크지 않은 것으로 나타났다. 엄밀하진 않지만 이렇게 생각할 수 있다. 이미 자본가계급에 유리한 구조에서는 언제든지 현재 노동시간을 최대 노동시간으로 매우 빠르게 이동시킬 수 있는 힘이 있다고 보면 어떨까?

(2) 너무 적은 잉여가치를 얻고 있는 상황

#(2) 너무 적은 잉여가치
fExploitDistr(x <- fExploitList(T0 = 50, x1, x2), titleName="beta distribution prob (T0=50)")

T0=50일 때

여기서는 착취율이 0에서 더 큰 투쟁가능성을 나타내고 있다. 여기서는 노동자계급에 유리한 상황이며 최대 노동시간의 한계가 그 절대적 크기로 볼 때 크지 않은 상황임을 알 수 있다.

5. 결론

착취율이란 사실 계급투쟁의 한 지표이기도 하다. 이것을 통해 해석의 다양성이 열려있었을 것이고 여기서 드는 해석은 그에 기반해있다. 이는 (1) 자본가계급에 유리한 상황 (2) 노동자계급에 유리한 상황으로 나누어 어떤 가능한 상황을 대략적으로 분석해볼 수 있었던 점이 이번 포스팅의 작은 성과인 것은 같다.

1. Morishima, M. (1977). Marx's Economics A Dual Theory of Value and Growth. CUP Archive. (국역본)"맑스의 경제학 : 가치와 성장의 이중이론". p100. 나남출판사. (도서) [본문으로]
2. 위키백과 - 베타분포. https://ko.wikipedia.org/wiki/베타_분포 [본문으로]